Để giải phương trình \(x(2x + 1) - 4x^2 + 1 = 0\), chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích phương trình**:
\[
x(2x + 1) - 4x^2 + 1 = 0
\]

Ta mở rộng biểu thức:
\[
2x^2 + x - 4x^2 + 1 = 0
\]

Rút gọn lại:
\[
-2x^2 + x + 1 = 0
\]
hay
\[
2x^2 - x - 1 = 0
\]

2. **Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2**:
Phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\) trong đó \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -1\).

Công thức tính nghiệm là:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Thay các giá trị vào công thức:
\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}
\]
\[
x = \frac{1 \pm 3}{4}
\]

Từ đó, ta có hai nghiệm:
\[
x_1 = \frac{4}{4} = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là \(x = 1\) và \(x = -\frac{1}{2}\).

---

Chứng minh đẳng thức \( (x+y+z)^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 2(xy + yz + zx) \):

Bắt đầu với vế trái:
\[
(x+y+z)^2 - x^2 - y^2 - z^2
\]

Mở rộng biểu thức:
\[
= (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) - x^2 - y^2 - z^2
\]

Rút gọn:
\[
= 2xy + 2yz + 2zx
\]

Ta có thể viết lại:
\[
= 2(xy + yz + zx)
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức:
\[
(x+y+z)^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 2(xy + yz + zx)
\]

Kết luận: Đẳng thức đã được chứng minh.