Để giải quyết bài toán về hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình thang \( ABCD \) với các thông tin đã cho, ta thực hiện theo các bước sau:

### a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \( (SAB) \) và \( (SCD) \)

**Bước 1:** Xác định các điểm và các mặt phẳng:
- Hình thang \( ABCD \) có \( AB \parallel CD \) và \( CD = 3AB \).
- Giả sử \( AB = a \), thì \( CD = 3a \).

**Bước 2:** Tìm phương trình của các mặt phẳng:
- Mặt phẳng \( (SAB) \) chứa điểm \( S \) và đoạn thẳng \( AB \).
- Mặt phẳng \( (SCD) \) chứa điểm \( S \) và đoạn thẳng \( CD \).

**Bước 3:** Tìm giao tuyến:
- Giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ là một đường thẳng. Để xác định nó, có thể cần tìm tọa độ và phương trình mặt phẳng cụ thể qua phép tính hình học.

### b) Tìm giao điểm \( I \) của \( AM \) với mặt phẳng \( (SBD) \)

**Bước 1:** Xác định điểm \( M \):
- \( M \) trên đoạn \( SN \) nên có tọa độ có thể biểu diễn dựa trên \( S \) và \( N \).

**Bước 2:** Tìm phương trình của đường thẳng \( AM \):
- Sử dụng tọa độ điểm \( A \) và \( M \).

**Bước 3:** Tìm phương trình mặt phẳng \( (SBD) \) và giải hệ phương trình để tìm giao điểm \( I \).

### c) Xác định diện tích của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \( (ABM) \)

**Bước 1:** Tìm diện tích tiết diện:
- Tiết diện sẽ là một tam giác hoặc đa giác phụ thuộc vào cách mà mặt phẳng cắt hình chóp.

**Bước 2:** Thiết diện là hình gì?
- Xem xét vị trí các điểm \( A, B, M \) và xác định diện tích hình được tạo ra.

### Nâng cao: Xác định vị trí của điểm \( M \) trên đoạn \( SN \) để thiết diện là hình bình hành

**Bước 1:** Đặt điều kiện cho diện tích hình học để nó trở thành hình bình hành.
- Những điều kiện cụ thể về độ dài và góc giữa các cạnh sẽ cần thiết.

### Kết luận:

Bài toán cần sự tỉ mỉ trong việc xác định tọa độ và phương trình cho từng mặt phẳng, từ đó tìm các giao điểm và diện tích một cách chi tiết. Hãy cụ thể hóa các thông tin về tọa độ của các điểm để có thể thực hiện các phép toán chính xác hơn.