Để chứng minh rằng \( S_n \) không nhận giá trị nguyên với mọi \( n \in \mathbb{N} \) và \( n > 0 \), chúng ta trước tiên sẽ viết lại biểu thức của \( S_n \):

\[
S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( k^2 - \frac{1}{k^2} \right)
\]

Chúng ta có thể tách biểu thức này thành hai phần:

\[
S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}
\]

1. **Tính \( \sum_{k=1}^{n} k^2 \)**:

Ta biết rằng:

\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

2. **Tính \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \)**:

Biểu thức \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \) là một tổng hội tụ, và không có công thức đơn giản nào cho nó trong dạng thức nguyên. Tuy nhiên, ta biết rằng tổng này không phải là một số nguyên.

Như vậy, ta sẽ cần xem xét các số hạng trong \( S_n \):

\[
S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}
\]

Điều quan trọng là \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \) sẽ không bao giờ là một giá trị nguyên vì nó chứa các phân số. Số hạng \( \frac{1}{k^2} \) cho mỗi \( k \) là một phân số có mẫu là bình phương của số nguyên, do đó tổng này sẽ rất gần với một giá trị thực nào đó nhưng không thể là một số nguyên.

3. **Chứng minh rằng \( S_n \) không thể là nguyên**:

- Số hạng \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) là một số nguyên (bởi vì là tích của các số nguyên chia cho 6).
- Số hạng \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \) sẽ cho ta một giá trị luôn có phần thập phân.

Khi đó, nếu \( S_n \) là tổng của một số nguyên và một số không nguyên (có phần thập phân), thì \( S_n \) sẽ không thể là một số nguyên.

Với nhận định trên, ta có thể kết luận rằng:

\[
S_n \text{ không nhận giá trị nguyên với mọi } n \in \mathbb{N} \text{ và } n > 0.
\]

Chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh.