Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), có đường cao AH. Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần a), b), c) một cách chi tiết:

### a) Chứng minh tứ giác AHNC là hình chữ nhật

1. **Xác định các điểm**: Theo giả thiết, \( F \) là trung điểm của đoạn \( HN \) nghĩa là \( HF = FN \).

2. **Căn cứ vào tính chất của tứ giác**: Để chứng minh \( AHNC \) là hình chữ nhật, cần chứng minh rằng:
- \( AH \perp CN \)
- \( AC = AH \)

3. **Tính vuông góc tại A**: Trong tam giác vuông \( ABC \), bởi tính chất của tam giác vuông, ta có \( AH \perp BC \).

4. **Tính chất trung điểm**: Về điểm \( E \), \( F \), và việc nằm trọn trong các đoạn thẳng liên tiếp của tam giác vuông, ta có \( AE = EB \) và \( AF = FC \).

5. **Kết luận**: Do đó, các góc \( \angle AHC \) và \( \angle CNH \) đều là góc vuông. Đồng thời, do \( E \) và \( F \) là trung điểm và nằm trên đường chéo từ \( H \), ta đã chứng minh rằng:
- \( HN \perp AC \) và \( HN \perp AH \) ⇒ \( AHNC \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác ADBM là hình thoi

1. **Xác định các điểm**: Trên tia đối của tia \( EM \) lấy điểm \( D \) sao cho \( E \) là trung điểm của đoạn \( DM \).

2. **Chứng minh các cạnh đối song song**: Do \( E \) là trung điểm của \( DM \), và từ tính chất của trung điểm, ta có:
- \( ED = EM \) và \( AB = AC \) ⇒ \( AD = AB \) và \( DB = AC \)

3. **Chứng minh các cạnh đối bằng nhau**: Vì \( AE = EB \) và \( AF = FC \), ta có cả:
- \( AD = DB \) và \( AB = AC \)

4. **Kết luận**: Từ hai tính chất này, chúng ta có \( ADBM \) là hình thoi.

### c) Chứng minh HE vuông góc với HM

1. **Chứng minh**: Về tính vuông góc của hai đường thẳng \( HE \) và \( HM \), cần chú ý đến vị trí của các điểm.

2. **Dựa vào công thức chiều cao**: Trong tam giác vuông \( ABC \) thì phần chiều cao \( AH \) luôn vuông góc với cạnh huyền \( BC \) trên trục \( M \).

3. **Kết luận**: Vì \( H \) là điểm nằm trên một cạnh và \( E \) là trung điểm của cạnh vuông góc, ta có \( HE \perp HM \).

Kết hợp tất cả các phần, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.