Cho △ABC vuông ở A (AB < AC), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua H. Đường thẳng kẻ qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M và N. Tứ giác ABDM là hình gì?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xem xét các yếu tố hình học trong tam giác vuông \(ABC\).

### a) Tứ giác \(ABDM\) là hình gì?

Ta có các điểm:
- \(A\) là đỉnh vuông của tam giác vuông \(ABC\);
- \(B\) và \(C\) là các điểm trên các cạnh vien của tam giác;
- \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(H\), do đó \(H\) là trung điểm của đoạn \(AD\);
- Đường thẳng qua \(D\) song song với \(AB\) cắt \(BC\) và \(AC\) lần lượt ở \(M\) và \(N\).

Do \(AD\) nối giữa \(A\) và điểm đối xứng \(D\), và \(DM \parallel AB\), ta có:
- \(AB \parallel DM\)
- Với \(AM\) và \(AB\) là hai cạnh đối diện của tứ giác \(ABDM\), và \(AD\) là cạnh khác.

Vì vậy, tứ giác \(ABDM\) là hình thang, cụ thể là hình thang vuông tại điểm \(A\).

### b) Chứng minh: \(BD \perp DC\)

Ta có:
- \(H\) là chân đường cao từ \(A\) đến \(BC\).
- \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(H\).

Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\), do đó:
- Đoạn \(DH\) cũng vuông góc với \(BC\) (vì là hình đối xứng).

Vì \(BD\) và \(DC\) đều nằm trên đường thẳng \(BC\), và \(DH\) vuông góc với \(BC\), ta suy ra \(BD \perp DC\).

### c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(MC\). Chứng minh: \(HNI = 90^\circ\)

Để chứng minh rằng \(HNI\) vuông, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang và vị trí của các điểm:
- \(I\) là trung điểm của \(MC\), và từ \(M\) đến \(C\) nằm trên đường thẳng \(BC\).
- \(H\) là chân đường cao từ \(A\), do đó \(AH\) vuông góc với \(BC\).

Vì \(MH \parallel AB\) và \(AH\) vuông góc với \(BC\), ta có:
- \(HN \perp MC\) (vì \(H\) nằm trên \(AH\) và vuông góc với \(BC\)).
- Từ tính chất hình thang, ta có \(HN\) vuông góc với \(MC\).

Do đó, \(HNI\) cũng vuông với \(I\) đã là trung điểm của đoạn \(MC\) và do đó \(HN\) vuông tại \(I\).

Kết luận:
1. Tứ giác \(ABDM\) là hình thang vuông.
2. \(BD \perp DC\).
3. \(HNI = 90^\circ\).