Tìm các số nguyên x, y thoả mãn:

Để tìm các số nguyên \(x\) và \(y\) thoả mãn phương trình

\[
x^2 + 5y^2 + 4xy - 2y = 0,
\]

ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng một phương trình bậc hai với biến \(x\):

\[
x^2 + 4xy + (5y^2 - 2y) = 0.
\]

Phương trình này có dạng \(Ax^2 + Bx + C = 0\), với \(A = 1\), \(B = 4y\) và \(C = 5y^2 - 2y\).

Để có nghiệm thực cho phương trình bậc hai này, discriminant (định thức) phải không âm:

\[
D = B^2 - 4AC \geq 0.
\]

Tính \(D\):

\[
D = (4y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5y^2 - 2y) = 16y^2 - 4(5y^2 - 2y) = 16y^2 - 20y^2 + 8y = -4y^2 + 8y.
\]

Giải bất phương trình \(D \geq 0\):

\[
-4y^2 + 8y \geq 0 \implies 4y(2 - y) \geq 0.
\]

Giải bất phương trình này, ta nhận được:

\[
y(2 - y) \geq 0.
\]

Điều này đưa chúng ta đến các khoảng giá trị của \(y\):

- \(y \leq 0\) hoặc \(y \geq 2\).

Với \(y = 0\):

\[
x^2 = 0 \implies x = 0.
\]
Do đó, có nghiệm \((x, y) = (0, 0)\).

Với \(y = 2\):

\[
x^2 + 4(2)x + (5(2^2) - 2(2)) = 0 \implies x^2 + 8x + (20 - 4) = 0 \implies x^2 + 8x + 16 = 0.
\]
Phương trình này có nghiệm kép:
\[
(x + 4)^2 = 0 \implies x = -4.
\]
Do đó, có nghiệm \((x, y) = (-4, 2)\).

Tiếp theo, với \(y < 0\), chỉ cần thử cho các giá trị nguyên của \(y\):

- Với \(y = -1\):
\[
x^2 + 4(-1)x + (5(-1)^2 - 2(-1)) = x^2 - 4x + 5 + 2 = 0 \implies x^2 - 4x + 7 = 0.
\]
Không có nghiệm thực.

- Với \(y = -2\):
\[
x^2 + 4(-2)x + (5(-2)^2 - 2(-2)) = x^2 - 8x + 20 - 4 = 0 \implies x^2 - 8x + 16 = 0 \implies (x - 4)^2 = 0.
\]
Nghiệm \(x = 4\). Vậy có nghiệm \((x, y) = (4, -2)\).

Tiếp tục với các \(y\) nguyên âm thấp hơn ta không tìm được nghiệm nào cả.

Tóm lại, các cặp \((x, y)\) nguyên thoả mãn phương trình đã cho là:

\[
(0, 0), (-4, 2), (4, -2).
\]