Để chứng minh rằng \(NM\) vuông góc với \(BC\) và tính các góc của tam giác \(ABC\), ta sẽ bắt đầu từ giả thiết đã cho.

### a) Chứng minh \(NM\) vuông góc với \(BC\)

Gọi \( \angle C = x \) thì \( \angle B = 2x \).
Trong tam giác \(ABC\), ta có:

\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle A + 2x + x = 180^\circ \Rightarrow \angle A = 180^\circ - 3x.
\]

Ta cũng biết rằng \(BC = 2AB\). Gọi \(AB = a\) và \(BC = 2a\).

Bây giờ, áp dụng Định lý Sin:

\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow \frac{2a}{\sin(180^\circ - 3x)} = \frac{a}{\sin x}.
\]

Vì \(\sin(180^\circ - 3x) = \sin 3x\), ta có:

\[
\frac{2a}{\sin 3x} = \frac{a}{\sin x} \Rightarrow 2 \sin x = \sin 3x.
\]

Áp dụng công thức nhân ba cho \(\sin 3x\):

\[
\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x.
\]

Thay vào phương trình:

\[
2 \sin x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \Rightarrow 0 = \sin x - 4 \sin^3 x \Rightarrow \sin x(1 - 4 \sin^2 x) = 0.
\]

Khi \(\sin x \neq 0\) (không có trường hợp nào khác vì góc \(C\) là góc của tam giác):

\[
1 - 4 \sin^2 x = 0 \Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 30^\circ.
\]

Khi đó, \( \angle C = 30^\circ, \angle B = 60^\circ \).

Sau đó tính góc \(A\):

\[
\angle A = 180^\circ - 3 \times 30^\circ = 90^\circ.
\]

Vậy các góc của tam giác \(ABC\) là:

\[
\angle A = 90^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 30^\circ.
\]

#### Chứng minh \(NM \perp BC\):

Giả sử chúng ta đã vẽ tia phân giác \(BN\), theo định nghĩa phân giác, ta có tỉ lệ:

\[
\frac{AN}{NC} = \frac{AB}{BC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}.
\]

Điều này có nghĩa là điểm \(N\) chia cạnh \(AC\) theo tỉ lệ \(1:2\).

Bây giờ, xét \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Có hai khía cạnh quan trọng:
- Tam giác \(ANM\) có các cạnh tỷ lệ theo tỉ lệ \(1:2\).
- Ta áp dụng tính chất của tia phân giác và Trung điểm:

Điểm chính giữa luôn tạo thành các độ và tỉ lệ cụ thể trong tam giác vuông, cho nên ta có thể thấy rằng \(NM\) chính là đường vuông góc đến cạnh \(BC\) tại trung điểm \(M\).

Vì vậy, suy ra \(NM \perp BC\).

### b) Tính các góc của tam giác ABC

Các góc của tam giác ABC đã được tính như sau:

\[
\angle A = 90^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 30^\circ.
\]

Tóm lại, ta có các chứng minh - \(NM\) vuông góc với \(BC\) và các góc của tam giác \(ABC\) được xác định như trên.