Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước như mô tả.

1. **Bước đầu tiên:** loại bỏ số đầu tiên (số 1) và tất cả các số ở vị trí chẵn.
- Ban đầu có dãy số: 1, 2, 3, 4, ..., 1000.
- Sau khi loại bỏ số đầu tiên và các số ở vị trí chẵn, ta còn lại: 3, 5, 7, 9, 11, ..., 999.

2. **Bước thứ hai:** từ dãy số còn lại (3, 5, 7, 9, ..., 999), chúng ta lại thực hiện loại bỏ số đầu tiên và các số ở vị trí chẵn.
- Dãy số mới là: 3, 5, 7, 9, ..., 999.
- Sau khi loại bỏ, ta sẽ còn lại: 7, 11, 15, 19, ..., 999.

3. Chúng ta tiếp tục thực hiện như vậy cho đến khi chỉ còn lại một số duy nhất.

Dễ dàng nhận thấy rằng mỗi lần lặp, chúng ta đảm bảo rằng số vẫn giữ nguyên dạng trong các vị trí lẻ (có thể xem xét dãy số đó là tập hợp các số lẻ).

Thông qua quá trình này, ta có thể ghi nhận rằng cứ sau mỗi lần lặp như vậy, số lượng số nguyên giảm đi một nửa. Đến khi còn lại một số duy nhất, chúng ta có thể kiểm tra số đó.

Khi đi đến bước cuối cùng, số còn lại sẽ là số lớn nhất trong toàn bộ dãy số ban đầu, nhưng là số lẻ, bằng 511.

Vì vậy, số duy nhất còn lại sau khi thực hiện tất cả các bước loại bỏ là **513**.