Để giải bài toán, ta sử dụng các kiến thức về hình học liên quan đến đường tròn.

### a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn (O):

1. **Từ định nghĩa tiếp tuyến**: Một đoạn thẳng là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

2. **Bán kính OA**: Giả sử O là tâm đường tròn, A là điểm trên đường tròn. Từ O hạ đường vuông góc OA đến đường thẳng AB.

3. **Vì OA vuông góc với AB**: Do là phần vẽ vuông góc, nên CB (đoạn thẳng nối thông qua O) là tiếp tuyến tại điểm C.

### b) Tính độ dài đoạn thẳng OC:

1. **Thông tin đã cho**:
- Bán kính \( r = 15 \) cm.
- Đoạn thẳng AB = 24 cm.

2. **Tính nửa chiều dài đoạn AB**: \( \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) cm.

3. **Sử dụng định lý Pitago trong tam giác OAC** (có OC là tiếp tuyến và OA là bán kính):
- Trong tam giác vuông OAC, ta có:
\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]
Thay vào:
\[
15^2 = OC^2 + 12^2
\]
\[
225 = OC^2 + 144
\]
\[
OC^2 = 225 - 144
\]
\[
OC^2 = 81
\]
\[
OC = \sqrt{81} = 9 \text{ cm}
\]

### Kết luận:
- Đoạn thẳng OC có độ dài là 9 cm.