Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[
A = \frac{4}{2|x-1|} + 1,
\]

ta sẽ bắt đầu phân tích ý nghĩa của biểu thức.

1. **Xác định miền xác định**:
Biểu thức này được xác định khi \( |x-1| \neq 0 \), tức là \( x \neq 1 \).

2. **Điều kiện lớn nhất của A**:
Biểu thức \( |x-1| \) càng nhỏ thì \( \frac{4}{2|x-1|} \) càng lớn. Do đó, để A đạt giá trị lớn nhất, \( |x-1| \) phải có giá trị nhỏ nhất ngoại trừ \( |x-1| = 0 \).

3. **Tính giá trị tại các điểm gần 1**:
Khi xem xét các giá trị của \( x \) gần 1 (ví dụ \( x = 1 + \epsilon \) với \( \epsilon \) nhỏ):
- Khi \( x \) tiến gần 1 (từ bên trái hay bên phải), \( |x-1| \) tiến gần 0. Điều này sẽ làm cho \( A \) tiến tới vô cùng.

4. **Kết luận**:
Do đó, giá trị lớn nhất của A không bị giới hạn và có thể nói rằng \( A \) có giá trị lớn nhất là vô cùng (không giới hạn) khi \( x \) tiến gần đến 1.

Tóm lại,

\[
A \to +\infty \quad \text{khi} \quad x \to 1.
\]