Để chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tính chất của hình thoi**: Trong hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và chia nhau thành hai đoạn bằng nhau: \(AO = OC\) và \(BO = OD\). Ngoài ra, các góc giữa hai đường chéo là vuông góc.

2. **Xét các hình chiếu**: Ta có M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các cạnh AB, BC, CD và DA. Do đó:
- OM ⊥ AB
- ON ⊥ BC
- OP ⊥ CD
- OQ ⊥ DA

3. **Xét các yếu tố của tứ giác MNPQ**:
- Vì OM ⊥ AB và ON ⊥ BC, nên góc MON là góc vuông.
- Tương tự, góc NOP là góc vuông do ON ⊥ BC và OP ⊥ CD.
- Góc POQ cũng là góc vuông (do OP ⊥ CD và OQ ⊥ DA).
- Cuối cùng, góc QOM cũng là góc vuông (do OQ ⊥ DA và OM ⊥ AB).

4. **Kết luận**: Vì tứ giác MNPQ có bốn góc vuông, theo định nghĩa, tứ giác này phải là hình chữ nhật.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.