Để chứng minh các tính chất của tứ giác và các điểm trong tam giác ABC vuông tại A, ta sẽ tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật:

Ta có tam giác ABC vuông tại A với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

- Do M là trung điểm của BC, nên ta có \(BM = MC\).

- Ta xét vector:

- \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \) vuông góc với nhau (vì tam giác vuông tại A).

- Từ điểm M (là trung điểm của BC), vectơ \( \vec{MA} = \vec{M} - \vec{A} \).

- Tại điểm D, ta có \( MA = MD \). Do đó, \( \vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = -\vec{MA} \). Vậy, \( \vec{AD} \) đối xứng với \( \vec{MA} \) qua điểm A.

- Kể từ đó, ta chỉ ra rằng \( \angle ABD = \angle A + 90^\circ \) và \( \angle ACD = \angle A + 90^\circ \). Điều đó có nghĩa là \( \angle ABD \) và \( \angle ACD \) đều là góc vuông.

- Do đó, tứ giác ABDC có 2 góc vuông, từ đó suy ra ABDC là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành:

- Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE. Điều này có nghĩa là:

\[
\vec{E} = 2\vec{B} - \vec{A}
\]

- Ta sẽ chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ giác BEDC bằng nhau:

- Cạnh BE bằng cạnh CD:
- \( \vec{D} - \vec{E} = \vec{D} - (2\vec{B} - \vec{A}) = \vec{D} + \vec{A} - 2\vec{B} \).

- Cạnh BD bằng cạnh CE:
- \( \vec{C} - \vec{E} = \vec{C} - \left(2\vec{B} - \vec{A}\right) = \vec{C} + \vec{A} - 2\vec{B} \).

- Như vậy, ta có \( \vec{BE} = -\vec{DC} \) và \( \vec{BD} = -\vec{CE} \).

- Vì vậy, các cặp cạnh đối diện của tứ giác BEDC bằng nhau, chứng tỏ tứ giác BEDC là hình bình hành.

### c) Chứng minh E, K, M thẳng hàng:

- Lấy điểm K trên đoạn thẳng BD sao cho \( KD = 2BK \).

- Từ đó, suy ra \( BK = \frac{1}{3} BD \) và \( KD = \frac{2}{3} BD \).

- Từ \( D \), vẽ đoạn thẳng \( KM \) thì \( AM \) và \( AK \) sẽ thuộc cùng một đường thẳng.

- Do HE, K, M cùng nằm trên đường thẳng mà K nằm giữa M và E:

- Nếu ta xét các vectơ:

\[
\vec{M} = \vec{A} + t \cdot \vec{B}
\]

với 0 < t < 1. Bởi vì K là một phần của BD.

- Cuối cùng, vì K ở giữa B và D, K, M và E thẳng hàng (có thể yêu cầu ánh xạ tỉ lệ).

Như vậy, ta đã chứng minh E, K, M thẳng hàng.

Tóm lại:
- a) Tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
- b) Tứ giác BEDC là hình bình hành.
- c) E, K, M thẳng hàng.