Để chứng minh các điều trong bài toán, ta làm như sau:

### a) Chứng minh rằng \( BD = CF \)

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi \( D \) là trung điểm của \( AB \) → \( AD = DB \)
- Gọi \( E \) là trung điểm của \( AC \) → \( AE = EC \)
- Gọi \( F \) sao cho \( E \) là trung điểm của \( DF \) → \( DE = EF \)

2. **Xét tam giác \( AEF \):**
- Ta có \( AE = EC \) và \( E \) là trung điểm của \( DF \), do đó \( DE = EF \).

3. **Sử dụng định lý trung điểm:**
- Trong tam giác \( ABC \), \( D \) và \( E \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \) nên \( DE \) là đoạn thẳng nối trung điểm, có độ dài bằng \( \frac{1}{2} BC \) và song song với \( BC \).

4. **Suy diễn từ tam giác vuông:**
- Trong tam giác \( BDF \) và \( CEF \): Ta có:
- \( BD = AD \) (vì \( D \) là trung điểm của \( AB \))
- \( EF = DE = EC \) (vì \( E \) là trung điểm và \( DE = EF \))

5. **Kết luận:**
- Do đó, theo định lý cạnh đối diện trong hai tam giác đồng dạng, suy ra \( BD = CF \).

### b) Chứng minh rằng \( DE \parallel BC \) và \( DE = \frac{1}{2} BC \)

1. Từ \( D \) và \( E \) là trung điểm của hai cạnh nên \( DE \parallel BC \) (theo định lý về đoạn thẳng nối hai trung điểm).

2. Độ dài của \( DE \):
- \( DE = \frac{1}{2} BC \) do \( DE \) là đoạn thẳng nối hai trung điểm, theo định lý về đoạn nối trung điểm trong tam giác.

### Nhận xét:
- Từ \( BD = CF \) và \( DE \parallel BC \), ta có thể rút ra rằng các tam giác \( BDF \) và \( CEF \) là đồng dạng với tỷ lệ \( 1:1 \).
- Điều này cho thấy rằng khi ta tìm các trung điểm và vẽ các đoạn thẳng song song, ta có thể dễ dàng áp dụng các định lý hình học để suy ra các quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác.