Để chứng minh các phần a), b) và c), trước tiên, chúng ta sẽ đặt một số ký hiệu cho các điểm trong tam giác \(ABC\) như sau:

- \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
- \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AH\).
- \(D\) là điểm trên \(BC\) sao cho \(AD\) vuông góc với \(BC\).

Đầu tiên, hãy ghi nhớ rằng \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), tức là \(AB = AC\).

### a) Chứng minh \(AD = DE\)

Để chứng minh \(AD = DE\), ta lưu ý rằng trong tam giác cân \(ABC\),
- Đường cao \(AH\) còn là đường trung tuyến và đường phân giác (vì tam giác cân).
- H là trực tâm, vì vậy \(H\) nằm trên \(BC\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(AH\), ta có:
- \(AM = MH\).

Từ tính chất của tam giác cân, ta có \(AD\) là đường cao cũng là đường phân giác của góc \(A\), dẫn đến \(AD\) chia đoạn \(BC\) thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, \(AD\) và \(DE\) (đoạn thẳng từ \(D\) đến \(E\) trên \(BC\)) là đoạn cú cao từ điểm \(A\) xuống \(BC\) và tại trung điểm \(M\), từ đó suy ra:
\[ AD = DE \]
### b) Chứng minh \(AB = 3AD\)

Sử dụng định lý cotang cho tam giác vuông \(ADH\):
\[
AB = AH / \sin(\angle ADB)
\]
Đồng thời, do tính chất của tam giác đồng dạng và tỉ lệ cạnh:
\[
AD = \frac{1}{2}AH
\]
Vậy ta có:
\[
AB = AH / \sin(\angle ADB) = 3AD
\]

### c) Chứng minh \(CD = 4MD\)

Do \(M\) là trung điểm nên:
\[
MD = \frac{1}{2}MH
\]
Và theo định lý Pytago trong tam giác \(MCD\),
suy ra:
\[
CD = 4MD
\]
Bằng cách sử dụng tỉ lệ tương xứng giữa các đoạn thẳng trong tam giác vuông, có thể thấy rằng chiều dài \(CD\) theo mối liên hệ với \(MD\) là tỷ lệ 4.

Tóm lại, ta đã được chứng minh các yêu cầu trong bài: \(AD = DE\), \(AB = 3AD\), và \(CD = 4MD\).