Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một:

### a) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

**Giải thích:**
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
- H là trực tâm của tam giác vuông ABC, nên các đường thẳng HE và HF vuông góc với AB và AC (do định nghĩa của H).
- AE và FH đều là các đoạn thẳng vuông góc với nhau (AE vuông góc với AB tại E và HF vuông góc với AC tại F).
- Áp dụng tính chất của tam giác vuông, ta có AE = HF.
=> Tứ giác AEHF thỏa mãn đặc điểm của hình chữ nhật.

### b) Gọi O là trung điểm của AH. Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng EF.

**Giải thích:**
- Đường thẳng EF được kẻ vuông góc với AB tại E và vuông góc với AC tại F.
- Do đó, đoạn thẳng EF là một đoạn thẳng vuông góc với AH tại H.
- Vì O là trung điểm của AH, O sẽ chia đoạn thẳng EF thành hai đoạn bằng nhau (do EF là đường vuông góc và chia đều AH).
=> Suy ra O là trung điểm của đoạn thẳng EF.

### c) Gọi M là trung điểm của HC. Kẻ MI song song với AH (I thuộc AC). Lấy điểm K sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng KI. Chứng minh tứ giác HICK là hình thoi.

**Giải thích:**
- M là trung điểm của HC, do đó HC được chia đều tại M.
- K là điểm sao cho M là trung điểm của khoản cách giữa K và I, tức là KM = MI.
- MI song song với AH và AH vuông góc với EF.
- Tứ giác HICK thỏa mãn tính chất cả hai đường chéo HI và CK vuông góc nhau tại điểm O. Do đó HICK là hình thoi vì tất cả các cạnh đều bằng nhau.

### Tóm tắt:
- a) Tứ giắc AEHF là hình chữ nhật.
- b) O là trung điểm của EF.
- c) Tứ giắc HICK là hình thoi.

Chúc bạn làm bài tốt và đạt điểm max!