Để chứng minh tứ giác \( EFGH \) là hình thoi, ta sẽ xem xét tính chất của nó dựa trên vị trí các trung điểm của tứ giác \( ABCD \) và điều kiện \( AC = BD \).

1. **Gọi tọa độ các điểm:**
- Giả sử \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \), \( D(x_4, y_4) \).

2. **Xác định tọa độ các trung điểm:**
- \( E \) là trung điểm của \( AB \):
\[
E\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)
\]
- \( F \) là trung điểm của \( BC \):
\[
F\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)
\]
- \( G \) là trung điểm của \( CD \):
\[
G\left(\frac{x_3+x_4}{2}, \frac{y_3+y_4}{2}\right)
\]
- \( H \) là trung điểm của \( DA \):
\[
H\left(\frac{x_4+x_1}{2}, \frac{y_4+y_1}{2}\right)
\]

3. **Xem xét các xét nghiệm về cạnh và góc:**
- Tính độ dài các cạnh:
- \( EF = \left| E - F \right| \)
- \( FG = \left| F - G \right| \)
- \( GH = \left| G - H \right| \)
- \( HE = \left| H - E \right| \)

- Tính độ dài hai đường chéo:
- \( EG \) và \( FH \)

4. **Chứng minh \( EF = GH \) và \( FG = HE \):**
- Sử dụng tính chất bằng nhau của đường chéo \( AC = BD \), từ đó ta có thể rút ra các mối liên hệ giữa các độ dài cạnh.

5. **Xác định các góc:**
- Nếu \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại \( O \) là trọng tâm, thì các góc \( EFG \) và \( HGF \) có thể được chứng minh là bằng nhau.

6. **Kết luận:**
- Từ các tính chất trên, ta có \( EF = GH \) và \( FG = HE \), cùng với các góc đối diện bằng nhau, cho thấy tứ giác \( EFGH \) thỏa mãn các tính chất của hình thoi.

Do đó, tứ giác \( EFGH \) là hình thoi.