Để hàm số \( y = \sqrt{2x^3 - 5x + 3m - 2} \) có tập xác định là \( \mathbb{R} \), biểu thức dưới dấu căn phải không âm với mọi \( x \). Điều này có nghĩa là:

\[
2x^3 - 5x + 3m - 2 \geq 0
\]

Ta cần xem xét đa thức \( 2x^3 - 5x - 2 \) và xác định giá trị lớn nhất của nó. Để làm điều này, ta sử dụng đạo hàm để tìm cực trị:

1. Tính đạo hàm:

\[
f(x) = 2x^3 - 5x - 2
\]
\[
f'(x) = 6x^2 - 5
\]

2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \):

\[
6x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = \frac{5}{6} \implies x = \pm \sqrt{\frac{5}{6}}
\]

3. Tính giá trị của \( f(x) \) tại các điểm cực trị và một đầu khoảng:

- Tại \( x = \sqrt{\frac{5}{6}} \):

\[
f\left(\sqrt{\frac{5}{6}}\right) = 2\left(\frac{5}{6}\right)^{3/2} - 5\left(\sqrt{\frac{5}{6}}\right) - 2
\]

- Tại \( x = -\sqrt{\frac{5}{6}} \):

\[
f\left(-\sqrt{\frac{5}{6}}\right) = 2\left(-\sqrt{\frac{5}{6}}\right)^3 - 5\left(-\sqrt{\frac{5}{6}}\right) - 2
\]

4. Tính giá trị tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = 1 \):

- \( f(0) = -2 \)
- \( f(1) = 2(1) - 5(1) - 2 = -5 \)

Vì vậy, ta thấy rằng \( 2x^3 - 5x - 2 \) có giá trị cực tiểu và cực đại tại các điểm đã tìm ra.

5. Tổng quát, để hàm số có tập xác định là \( \mathbb{R} \):

\[
3m - 2 + \min(f(x)) \geq 0
\]

Gọi \( y_{min} = \min\{f(\sqrt{\frac{5}{6}}), f(-\sqrt{\frac{5}{6}}), f(0), f(1)\} \), giá trị nhỏ nhất này phải thỏa mãn điều kiện:

\[
3m - 2 \geq -y_{min} \implies m \geq \frac{y_{min} + 2}{3}
\]

Do đó, \( m \) cần được chọn sao cho điều kiện trên thỏa mãn và \( m \geq 0 \).

Cuối cùng, bạn sẽ cần tính giá trị cực tiểu thực tế và thực hiện phép toán để có giá trị cụ thể cho \( m \).