Để chứng minh rằng \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) và \( MC^2 = 3R^2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bài a: Chứng minh \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \)

1. **Xác định các điểm và góc:**
- Cho đường tròn \( (O; R) \) với đường kính \( AB \).
- Điểm \( C \) nằm trên đường tròn sao cho \( \angle CAB = 30^\circ \).

2. **Sử dụng định lý tiếp tuyến:**
- Để chứng minh \( MC \) là tiếp tuyến, ta cần chứng minh rằng góc \( MCB \) là góc vuông.

3. **Tính toán góc:**
- Ta có \( \angle CAB = 30^\circ \) nên \( \angle CBA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) (do \( \triangle ABC \) là tam giác vuông tại \( A \)).
- Xét góc \( MCB \):
- Vì \( M \) là điểm nằm trên tia đối của tia \( BA \), nên \( \angle MAB = 180^\circ - \angle CAB = 150^\circ \).
- Do đó, \( \angle MCB = \angle MAB - \angle CBA = 150^\circ - 60^\circ = 90^\circ \).

4. **Kết luận:**
- Vì \( \angle MCB = 90^\circ \), nên \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).

### Bài b: Chứng minh \( MC^2 = 3R^2 \)

1. **Sử dụng định lý Pythagoras:**
- Vì \( MC \) là tiếp tuyến và \( O \) là tâm của đường tròn, nên:
\[
MC^2 = MO^2 - OC^2
\]

2. **Tính độ dài:**
- Độ dài \( OC = R \) (bán kính đường tròn).
- Ta cần tính độ dài \( MO \) (chú ý rằng \( M \) nằm trên tia đối của tia \( BA \) và góc \( MAB = 150^\circ \)):
- Dùng định lý cosin trong tam giác \( OAB \):
\[
AB = 2R
\]
- Tính \( MB \):
\[
MB = R
\]
- Sử dụng công thức hình học để tính \( MO \):
\[
MO = MB \cdot \frac{1}{\cos(30^\circ)} = R \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R \sqrt{3}}{3}
\]

3. **Tính \( MC^2 \):**
- Thay vào công thức:
\[
MC^2 = MO^2 - OC^2 = \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 - R^2
\]
- Tính từng phần:
\[
MO^2 = \frac{4R^2}{3}
\]
\[
OC^2 = R^2
\]
- Vậy:
\[
MC^2 = \frac{4R^2}{3} - R^2 = \frac{4R^2}{3} - \frac{3R^2}{3} = \frac{R^2}{3}
\]

4. **Kết luận:**
\[
MC = \sqrt{3}R \implies MC^2 = 3R^2
\]

Từ đó, ta có kết quả: \( MC^2 = 3R^2 \).

### Tổng kết:
- Ta đã chứng minh được \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) và \( MC^2 = 3R^2 \) như yêu cầu.