Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân, với AB = AC = a và góc BAC=120°, cạnh bên AA' = a . Gọi I là trung điểm của CC'. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng

Để giải bài toán này, ta cần tính toán cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \( (ABC) \) và \( (AB'I) \).

1. **Xác định toạ độ của các điểm**:
- Đặt \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- Vì góc \( BAC = 120^\circ \), ta có:
\[
C\left( a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0 \right) = \left( -\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0 \right)
\]
- Cạnh bên \( AA' = a \) nên \( A'(0, 0, a) \)
- Điểm \( B' \) và \( C' \) có toạ độ tương tự \( B \) và \( C \) nhưng cao hơn 1 đoạn \( a \):
\[
B'(a, 0, a) \quad C'\left( -\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, a \right)
\]

2. **Tìm điểm I** (trung điểm của \( CC' \)):
\[
I = \left( -\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2} \right)
\]

3. **Vecto pháp tuyến của mặt phẳng \( (ABC) \)**:
- Tính hai vecto \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \):
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = \left( a, 0, 0 \right)
\]
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = \left( -\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0 \right)
\]
- Vecto pháp tuyến \( \vec{n_1} \):
\[
\vec{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a & 0 & 0 \\
-\frac{a}{2} & \frac{a \sqrt{3}}{2} & 0
\end{vmatrix} = \left(0, 0, a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]
- Vecto pháp tuyến \( \vec{n_1} = \left( 0, 0, a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)

4. **Mặt phẳng \( (AB'I) \)**:
- Tính \( \overrightarrow{AB'} \) và \( \overrightarrow{AI} \):
\[
\overrightarrow{AB'} = B' - A = \left( a, 0, a \right)
\]
\[
\overrightarrow{AI} = I - A = \left( -\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2} \right)
\]
- Vecto pháp tuyến \( \vec{n_2} \):
\[
\vec{n_2} = \overrightarrow{AB'} \times \overrightarrow{AI}
\]

5. **Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng**:
- Sử dụng công thức:
\[
\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}
\]

Sau khi thực hiện các phép toán vector và tính cosin, sẽ cho ra một giá trị cho cosin của góc giữa hai mặt phẳng. Từ đó so sánh với các đáp án để chọn.

Một số phép toán chi tiết có thể cần thực hiện cụ thể hơn, nhưng với cách tiếp cận này, bạn sẽ tìm được kết quả mong muốn.