Để chứng minh rằng \( n^2 + n + 1 \) không chia hết cho 2, ta sẽ xem xét hai trường hợp khi \( n \) là số chẵn và số lẻ.

1. **Trường hợp 1**: \( n \) là số chẵn.
- Khi \( n \) là số chẵn, ta có thể viết \( n = 2k \) với \( k \) là một số nguyên.
- Vậy ta có:
\[
n^2 + n + 1 = (2k)^2 + (2k) + 1 = 4k^2 + 2k + 1
\]
- Số \( 4k^2 + 2k \) là số chẵn (do cả hai thành phần đều chia hết cho 2), và khi cộng thêm 1, ta có:
\[
4k^2 + 2k + 1 \text{ là số lẻ.}
\]

2. **Trường hợp 2**: \( n \) là số lẻ.
- Khi \( n \) là số lẻ, ta có thể viết \( n = 2k + 1 \) với \( k \) là một số nguyên.
- Vậy ta có:
\[
n^2 + n + 1 = (2k + 1)^2 + (2k + 1) + 1
\]
- Tính toán:
\[
(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1
\]
- Do đó:
\[
n^2 + n + 1 = 4k^2 + 4k + 1 + 2k + 1 + 1 = 4k^2 + 6k + 3
\]
- Số \( 4k^2 + 6k \) là số chẵn, và cộng thêm 3 sẽ cho ta số lẻ:
\[
4k^2 + 6k + 3 \text{ là số lẻ.}
\]

Từ hai trường hợp trên, ta thấy rằng \( n^2 + n + 1 \) là số lẻ cho cả khi \( n \) là số chẵn và khi \( n \) là số lẻ.

Vậy ta có thể kết luận rằng \( n^2 + n + 1 \) không chia hết cho 2 với mọi số nguyên \( n \).