Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán một cách chi tiết.

**Cho tam giác MNP, với MN = MP. Gọi I là trung điểm của NP.**

### a) Chứng minh tam giác MNI bằng tam giác MPI

Để chứng minh tam giác MNI bằng tam giác MPI, chúng ta có thể sử dụng các yếu tố như sau:

- **MN = MP** (điều kiện đã cho)
- **NI = PI** (vì I là trung điểm của NP)
- **Góc NMI = Góc PMI** (chúng ta có thể thấy rằng góc này là góc chung của hai tam giác MNI và MPI).

Từ đó, ta có thể áp dụng tiêu chí đồng dạng tam giác (SAS):

\[
\Delta MNI \cong \Delta MPI
\]

### b) Kẻ IK vuông góc với MN (K thuộc MN) và IH vuông góc với MP (H thuộc MP). Chứng minh tam giác MKI bằng tam giác MHI.

Chúng ta cần chứng minh hai tam giác MKI và MHI bằng nhau.

- **IK vuông góc với MN** và **IH vuông góc với MP**.
- **NK = NH** (vì đây là đường kéo dài giữa hai điểm K và H trên các cạnh MN và MP).
- **MN = MP** (điều kiện đã cho).

Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng:

\[
\Delta MKI \cong \Delta MHI
\]

do có hai cạnh cùng độ dài và góc vuông.

### c) Gọi E là trung điểm của HK. Chứng minh K, E, I thẳng hàng.

Để chứng minh K, E và I thẳng hàng, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm cùng với những đoạn thẳng đã được chứng minh trong các bước trước.

1. I là trung điểm của NP, nên \( NI = PI \).
2. K và H nằm trên đường MN và MP, do đó:
- \( NK = NH \)
3. E là trung điểm của HK, do đó:
- \( HE = EK \)

Do đó, điểm E chính là điểm chia đoạn HK thành hai đoạn bằng nhau. Như vậy, nếu chúng ta kết hợp với điều kiện rằng các tam giác MKI và MHI là bằng nhau, ta có:

Xét các đoạn thẳng NI và KH, có thể thấy rằng K, I và E nằm trên một đường thẳng do I là trung điểm của NP, và E nằm giữa K và H, từ đó suy ra:

\[
K, E, I \text{ thẳng hàng.}
\]

Chúng ta đã chứng minh xong các phần a, b, c của bài toán.