Cho \( x > \frac{1}{2} \). Chứng minh rằng \( 8x + \frac{1}{2x - 1}

Chứng minh rằng \( 8x + \frac{1}{2x - 1} \geq 8 \) với điều kiện \( x > \frac{1}{2} \).

Để thực hiện điều này, ta sẽ chuyển đổi biểu thức:

\[
8x + \frac{1}{2x - 1} \geq 8
\]

Ta có thể viết lại bất phương trình này:

\[
8x - 8 + \frac{1}{2x - 1} \geq 0
\]

Hay:

\[
8(x - 1) + \frac{1}{2x - 1} \geq 0
\]

Xét hàm \( f(x) = 8(x - 1) + \frac{1}{2x - 1} \).

Bây giờ ta tính đạo hàm của \( f(x) \):

\[
f'(x) = 8 - \frac{1}{(2x - 1)^2} \cdot 2
\]
\[
= 8 - \frac{2}{(2x - 1)^2}
\]

Tính toán \( f'(x) = 0 \):

\[
8 = \frac{2}{(2x - 1)^2}
\]
\[
(2x - 1)^2 = \frac{1}{4}
\]
\[
2x - 1 = \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad 2x - 1 = -\frac{1}{2}
\]
\[
2x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{4} \quad \text{(phù hợp với } x > \frac{1}{2}\text{)}
\]
\[
2x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4} \quad \text{(không phù hợp)}
\]

Ta cần kiểm tra giá trị của hàm \( f(x) \) tại \( x = \frac{3}{4} \):

\[
f\left(\frac{3}{4}\right) = 8\left(\frac{3}{4} - 1\right) + \frac{1}{2\left(\frac{3}{4}\right) - 1}
\]
\[
= 8\left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{\frac{3}{2} - 1}
\]
\[
= -2 + \frac{1}{\frac{1}{2}} = -2 + 2 = 0
\]

Với \( x > \frac{1}{2} \), \( f'(x) \) dương (bởi \( f'(x) \) có giá trị dương khi \( x > \frac{3}{4} \)), nên \( f(x) \) đồng biến.

Vậy \( f(x) \geq f\left(\frac{3}{4}\right) = 0 \).

Do đó, ta có:

\[
8x + \frac{1}{2x - 1} \geq 8
\]

Chứng minh đã hoàn tất.