a) Để vẽ đồ thị hàm số bậc nhất \( y = (m^2 + 1)x + (m + 2) \) khi \( m = -1 \), ta thay giá trị của \( m \) vào hàm số:

\[
y = ((-1)^2 + 1)x + (-1 + 2)
\]
\[
y = (1 + 1)x + 1 = 2x + 1
\]

Hàm số bậc nhất \( y = 2x + 1 \) có hệ số góc \( k = 2 \) và y-ít \( b = 1 \). Đồ thị của hàm số này là một đường thẳng với độ dốc 2 và cắt trục tung tại điểm (0, 1).

Bây giờ, để vẽ đồ thị, bạn có thể vẽ các điểm và vẽ đường thẳng, cụ thể:

- Cắt trục tung \( y \) tại \( (0, 1) \).
- Cắt trục hoành \( x \) tại \( ( -\frac{1}{2}, 0) \) bằng cách giải phương trình \( 2x + 1 = 0 \).

Vì vậy, đồ thị của hàm số là một đường thẳng kéo dài từ điểm \( (0, 1) \) với độ dốc 2.

b) Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3, ta đặt \( y \) = -3 và giải phương trình:

\[
-3 = (m^2 + 1) \cdot 0 + (m + 2)
\]

Giải phương trình này:

\[
-3 = m + 2
\]
\[
m = -3 - 2 = -5
\]

Vậy giá trị của \( m \) để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 là \( m = -5 \).