Cho tam giác ABC, M; N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Tính MN biết BC = 8cm

Để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác ABC và các điểm M, N là trung điểm của các cạnh, chúng ta sẽ làm theo từng phần:

### a) Tính MN biết BC = 8 cm

Theo định lý trung bình trong tam giác, đoạn thẳng MN nối giữa hai trung điểm M và N của các cạnh AB và AC sẽ bằng nửa chiều dài của cạnh BC.

- \[ MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 8 cm = 4 cm \]

### b) Chứng minh \( BD \cdot AN = AM \cdot DC \)

Ta có tam giác ABC và AD là phân giác của góc BAC. Theo tính chất của phân giác trong tam giác, chúng ta có:

- Tỉ lệ giữa các đoạn BD và DC bằng tỉ lệ giữa các cạnh AB và AC:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Gọi BD = x, DC = y, AB = 6 cm, AC = 10 cm. Ta có:
\[ \frac{x}{y} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

Từ đó, ta có thể viết x và y theo một hằng số k nào đó:
- \( BD = 3k \)
- \( DC = 5k \)

Với BC = BD + DC, tức là:
\[ 3k + 5k = 8 \]
\[ 8k = 8 \]
\[ k = 1 \]

Do đó:
- \( BD = 3k = 3 \, cm \)
- \( DC = 5k = 5 \, cm \)

Chúng ta có:
- \( AN = AM \)
- \( AM = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, cm \)
- \( DN = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, cm \)

Để chứng minh \( BD \cdot AN = AM \cdot DC \):
- Tính \( BD \cdot AN \):
\[ BD \cdot AN = 3 \cdot 5 = 15 \]

- Tính \( AM \cdot DC \):
\[ AM \cdot DC = 3 \cdot 5 = 15 \]

Do đó:
\[ BD \cdot AN = AM \cdot DC \]
### c) Biết AB = 6 cm, AC = 10 cm. Tính BD

Theo phần b), chúng ta đã tìm được BD và DC khi biết rằng \( AB = 6 \, cm \) và \( AC = 10 \, cm \).

Chúng ta đã tính được:

- \( BD = 3 \, cm \)

Vậy nên kết luận cho phần c) là:

\[ BD = 3 \, cm \]