Biết lim \( f(x) = -4 \) và lim \( g(x) = -5 \). Tính giới hạn lim \( \frac{f(x)}{x-3g(x)} \)

Để tính giới hạn \( \lim_{x \to 3g(x)} \frac{f(x)}{x - 3g(x)} \), ta sẽ áp dụng giới hạn lim của các hàm \( f(x) \) và \( g(x) \).

Biết rằng:
- \( \lim_{x \to a} f(x) = -4 \)
- \( \lim_{x \to a} g(x) = -5 \)

Ta tính \( 3g(x) \):

\[
\lim_{x \to a} 3g(x) = 3 \cdot \lim_{x \to a} g(x) = 3 \cdot (-5) = -15
\]

Vì vậy, khi \( x \to 3g(x) \) thì \( x \to -15 \).

Tiếp theo, ta thay vào giới hạn:

\[
\lim_{x \to -15} \frac{f(x)}{x - 3g(x)} = \frac{\lim_{x \to -15} f(x)}{\lim_{x \to -15} (x - 3g(x))}
\]

Tính giá trị ở tử và mẫu:

- \( \lim_{x \to -15} f(x) = -4 \)
- \( \lim_{x \to -15} (x - 3g(x)) = -15 - (-15) = 0 \)

Điều này dẫn đến việc áp dụng định nghĩa giới hạn có dạng \(\frac{0}{0}\), nên ta cần áp dụng quy tắc l'Hôpital.

Áp dụng quy tắc l'Hôpital, ta cần tính đạo hàm của tử và mẫu.

Giới hạn trở thành:

\[
\lim_{x \to -15} \frac{f'(x)}{1}
\]

Khi đó, nếu \( f'(x) \) không bằng 0 tại \( x = -15 \), giới hạn sẽ bằng \( f'(-15) \).

Tuy nhiên, chúng ta không có thông tin về \( f'(x) \). Do đó, không thể xác định giá trị cụ thể. Nếu chỉ cần xác định giới hạn ban đầu, thì

\[
\lim_{x \to 3g(x)} \frac{f(x)}{x - 3g(x)} = \frac{-4}{0}
\]

Khi đó, giới hạn có thể đi đến \( -\infty \) hoặc \( +\infty \), tùy thuộc vào phía tiếp cận của \( x \).

Vậy, giới hạn là \( -\infty \).