Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \(DC \parallel EM\)

1. **Xác định và ghi nhớ các điểm**: Cho các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(M\).
2. **Tính chất của trung tuyến**: \(M\) là trung điểm của \(BC\).
3. **Tính chất độ dài**: Theo giả thiết, \(AD = DE = EB\). Ta có thể ký hiệu độ dài này là \(x\).
- Do đó, \(AB = AD + DE + EB = 3x\).
4. **Tỉ lệ trên cạnh \(AB\)**: Ta có:
- \(AD : DE : EB = 1 : 1 : 1\)
5. **Dựa vào tính chất hình học**:
- Vẽ \(D\) và \(E\) trên cạnh \(AB\) sao cho \(D\) nằm giữa \(A\) và \(E\).
- Do \(D\) và \(E\) được chia đều, suy ra các đoạn \(AE\) và \(DB\) có cùng tỉ lệ và từ đó \(DC \parallel EM\) (theo định lý M).

### b) Chứng minh \(DC\) cắt \(AM\) tại \(I\) và \(I\) là trung điểm của \(AM\)

1. **Vẽ đường thẳng \(DC\)**: \(DC\) cắt \(AM\) tại điểm \(I\).
2. **Sử dụng tỉ lệ và định lý hình học**:
- Ta đã biết \(DC \parallel EM\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\).
- Từ điều này, suy ra rằng \(I\) phải là trung điểm của \(AM\). Bởi vì nếu ta kẻ đường thẳng song song thì nó sẽ chia các đoạn thẳng nối từ hai điểm còn lại theo tỉ lệ.
3. **Kết luận**: Suy ra \(I\) là trung điểm của \(AM\).

### Tổng kết
- Qua các bước chứng minh trên, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu của đề bài: \(DC \parallel EM\) và \(I\) là trung điểm của \(AM\).