Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đồ thị của hai hàm số \( y = 2x - 1 \) và \( y = 3x + m \) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành, ta cần tìm điều kiện để phương trình sau có một nghiệm:

\[
2x - 1 = 3x + m
\]

Đưa mọi hạng tử về một bên, ta có:

\[
2x - 3x - 1 - m = 0 \implies -x - (1 + m) = 0
\]

Sắp xếp lại ta được:

\[
x = -(1 + m)
\]

Để điểm giao nhau nằm trên trục hoành (trục \( x \)), giá trị của \( y \) phải bằng 0. Do đó, ta cần:

\[
y = 2x - 1 = 0
\]

Giải phương trình trên, ta có:

\[
2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}
\]

Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào phương trình \( y = 3x + m \):

\[
y = 3 \cdot \frac{1}{2} + m = \frac{3}{2} + m
\]

Để đồ thị cắt nhau tại \( y = 0 \):

\[
\frac{3}{2} + m = 0 \implies m = -\frac{3}{2}
\]

Vậy giá trị của \( m \) để đồ thị cắt nhau tại một điểm trên trục hoành là:

\[
\boxed{-\frac{3}{2}}
\]