Để giải các phương trình nghiệm nguyên, ta sẽ phân tích từng phương trình một.

### Phương trình 1:
\[
x^2 + 5y^2 - 4xy + 2x - 10y - 2013 = 0
\]

### Phương trình 2:
\[
x^2 + 2xy + y^2 = 2013
\]

### Phương trình 3:
\[
x^2 + 2y^2 + 3xy + 5y - 14 = 0
\]

---

**Bước 1: Phân tích phương trình**

1. **Phương trình 1:**
- Thay các giá trị nguyên của \(x\) và \(y\) vào và kiểm tra từng trường hợp để tìm nghiệm.

2. **Phương trình 2:**
- Chuyển thành dạng \((x + y)^2 + xy = 2013\), sau đó thử các giá trị nguyên cho \(x\) và \(y\).

3. **Phương trình 3:**
- Cũng thử các giá trị của \(x\) và \(y\) để xác định nghiệm.

---

**Bước 2: Kiểm tra nghiệm**

Với từng phương trình, ta sẽ thử nghiệm các trị số nguyên cho \(x\) và \(y\) trong khoảng hợp lý, thường từ -10 đến 10 hoặc lớn hơn tùy theo yêu cầu và độ khó của phương trình.

### Kết luận
Điều quan trọng là bạn cần thử và kiểm tra từng giá trị \(x\) và \(y\) trong từng phương trình để tìm nghiệm nguyên. Nếu cần sự hỗ trợ thêm trong từng bước hoặc giải chi tiết cho từng phương trình, vui lòng cho biết!