Để chứng minh rằng \( DE \parallel BC \) trong tam giác \( ABC \) với các yêu cầu đã cho, ta sẽ làm theo các bước sau:

**1. Giả thiết và ký hiệu:**
- Cho tam giác \( ABC \) với \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- Phân giác \( MD \) của góc \( AMB \).
- Phân giác \( ME \) của góc \( AMC \).

**2. Tính chất của phân giác:**
- Theo định nghĩa của phân giác, chúng ta có \( \frac{AM}{MB} = \frac{AD}{DB} \) và \( \frac{AM}{MC} = \frac{AE}{EC} \) vì \( D \) và \( E \) là điểm nằm trên phân giác.

**3. Sử dụng tính chất trung điểm:**
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( MB = MC \).

**4. Tỷ lệ bên:**
- Từ các tỷ lệ đã nêu, ta có:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AM}{MB} = \frac{AM}{MC} = \frac{AE}{EC}
\]
- Gọi \( AM \) là \( x \), \( MB = MC = y \). Khi đó, \( AD = k \cdot y \) và \( AE = k \cdot y \) với một hằng số \( k \).

**5. Tính chất đồng dạng:**
- Vì \( AM \) là trung tuyến và các phân giác \( MD \) và \( ME \) chia góc \( AMB \) và \( AMC \) tương ứng, ta có:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]
- Do đó, tỉ số các đoạn thẳng tương ứng của các cạnh sẽ bằng nhau.

**6. Kết luận về tính song song:**
- Theo tiêu chí về dấu hiệu song song, nếu \( DE \) chia cạnh \( BC \) thành các tỉ lệ bằng nhau, tức là:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]
thì ta có \( DE \parallel BC \).

Vậy nên, ta đã chứng minh được rằng \( DE \parallel BC \) như yêu cầu bài toán.