### Giải bài 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 8 cm, AC = 6 cm.

a) **Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?**

- Ta có AM là trung tuyến của tam giác ABC, do đó ta biết rằng điểm M là trung điểm của cạnh BC.
- MD vuông góc AB và ME vuông góc AC, cho nên:
- AD là một cạnh của tam giác vuông tại A.
- ME là một cạnh vuông góc với AC.
- Trong tứ giác ADME:
- AD vuông góc với MD (vì MD vuông góc với AB).
- AD vuông góc với ME (vì ME vuông góc với AC).

Tứ giác ADME sẽ là một hình chữ nhật nếu AD = ME và MD = AE. Để là một hình vuông, ta cần AD = MD = ME.

**Kết luận**: Tứ giác ADME là hình chữ nhật hoặc hình vuông, tùy thuộc vào độ dài các cạnh.

b) **Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông**

- Để tứ giác ADME là hình vuông, chúng ta cần:
- AE = AD = ME = MD.
- Xét thực tế, trong tam giác ABC vuông tại A có:
- AB = 8 cm.
- AC = 6 cm.
- Giả sử AM là trung tuyến, có thể tính độ dài của AM bằng công thức:
\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} = \frac{\sqrt{AB^2 + AC^2}}{2} = \frac{\sqrt{8^2 + 6^2}}{2} = \frac{\sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{\sqrt{100}}{2} = 5 \text{ cm}.
\]
- Để AD = MD thì AD bằng một nửa độ dài của BC.

**Kết luận**: Điều kiện để tứ giác ADME là hình vuông là AD = ME = MD = AE.

### Giải bài 2:
Bác An đã đo được:
- AF = 40m.
- FC = 20m.
- EC = 20m.

Ta có:
- Vì 3 điểm C, E, B thẳng hàng và 3 điểm C, F, A thẳng hàng, cũng như AB // FE.
- Do đó, ta có thể sử dụng định lý Thales để tìm khoảng cách giữa B và E.

#### Tính:

- EC = 20m (khoảng cách từ E đến C).
- FC = 20m (khoảng cách từ F tới C).
- Tương tự, AF = 40m (khoảng cách từ A tới F).

Ta biết rằng AB // FE nên có thể tính toán khoảng cách bằng định lý tỉ lệ.

- Vì EC và FC cùng nằm trên một đường thẳng với C:
\[
BE = BC - EC = (AF + FC) - EC = (40 + 20) - 20 = 40m.
\]

**Kết luận**: Khoảng cách giữa vị trí B và E là 40m.