Cho tam giác ABC, biết AB=60cm, AC=10cm và BC=14cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

### a) Tính độ dài BD, DC, AE, EC

1. **Tính độ dài của các đoạn BD và DC bằng định lý phân giác:**

Theo định lý phân giác, nếu đường phân giác của một góc trong một tam giác cắt cạnh không chứa đỉnh của góc đó thì nó sẽ chia cạnh đó thành tỷ lệ tỉ lệ với độ dài hai cạnh kề nó.

Ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{60}{10} = 6
\]

Gọi \( BD = x \) và \( DC = y \).

Do đó, ta có hệ phương trình:
\[
x + y = BC = 14
\]
\[
\frac{x}{y} = 6 \implies x = 6y
\]

Thay vào phương trình đầu tiên:
\[
6y + y = 14 \implies 7y = 14 \implies y = 2
\]

Vậy \( DC = 2 \) cm. Từ đó ta tính được:
\[
BD = 14 - DC = 14 - 2 = 12 \text{ cm}
\]

2. **Tính các độ dài AE và EC:**

Vì DE // AB, nên tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng. Tính tỷ lệ giữa hai tam giác:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{AC}
\]

Gọi \( AD = a \). Từ tỷ lệ đoạn:
\[
\frac{a}{60} = \frac{DC}{BC} = \frac{2}{14} \implies a = 60 \cdot \frac{2}{14} = \frac{120}{14} = \frac{60}{7} \text{ cm}
\]

Do đó, \( DE = AE \) sẽ có cùng tỷ lệ:
\[
\frac{DE}{AC} = \frac{a}{60} \implies DE = a \cdot \frac{10}{60} = \frac{60}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{10}{7} \text{ cm}
\]

Tính EC:
\[
EC = BC - AE = 14 - AE = 14 - DC = 14 - 2 = 12 \text{ cm}
\]

### b) Tính tỉ số diện tích tam giác ABD và tam giác ABC

Diện tích hai tam giác ABD và ABC có thể được tính theo tỉ lệ của chiều cao và đáy.

Diện tích tam giác ABC là:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A)
\]

Diện tích tam giác ABD là:
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(A)
\]

Vì vậy tỉ số diện tích sẽ là:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{AD}{AC} = \frac{\frac{60}{7}}{60} = \frac{1}{7}
\]

Tóm lại:
- \( BD = 12 \) cm
- \( DC = 2 \) cm
- \( AE = \frac{10}{7} \) cm
- \( EC = 12 \) cm
- Tỷ số diện tích \( S_{ABD} : S_{ABC} = 1 : 7 \).