Chúng ta sẽ xem xét từng phần của bài toán một cách chi tiết.

**a. Chứng minh MN là đường trung bình của tam giác ABC.**

Đầu tiên, nhớ rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Từ M, ta kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại điểm N. Vì MN song song với BC, điều này cho thấy rằng MN sẽ chia hai đoạn thẳng AB và AC thành hai đoạn tỷ lệ Bằng nhau.

Theo định nghĩa, trong tam giác, đường trung bình là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh. Ở đây, M là trung điểm của AB, và N là điểm nằm trên AC. Do MN song song với BC, theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có:

\[ MN = \frac{1}{2} BC \]

Vậy, ta có thể kết luận rằng MN chính là đường trung bình của tam giác ABC.

**b. Tứ giác AICK là hình gì?**

Dựa vào đề bài, ta có:
- I là giao điểm của tia phân giác của góc A với BC.
- K là điểm trên tia IN sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng IK.

Tứ giác AICK có các đặc điểm sau:
- Điểm I nằm thuộc đoạn thẳng BC.
- K là điểm bên ngoài của đoạn thẳng AC, vì N là trung điểm của IK.

Để xác định loại tứ giác AICK, ta nhận thấy rằng với N là trung điểm của IK và I thuộc trước BC, ta có thể xem AICK như là một tứ giác có đường chéo AN và CK là các đoạn thẳng nằm trong vị trí từ A đến C và từ I đến K.

Tuy nhiên, các đoạn này không bằng nhau hoặc song song, vì vậy thông thường, tứ giác AICK không phải là hình chữ nhật hoặc hình bình hành. Mà, với các điểm được xác định, AICK không có tính chất đặc biệt và có thể dưới dạng một tứ giác nói chung.

**c. Chứng minh \(IB \cdot NC = AM \cdot AK\)**

Ta có:

- \(AM\) là độ dài từ A đến M. Bởi M là trung điểm của AB, ta có thể viết \(AM = \frac{1}{2} AB\).
- \(IB\) là đoạn thẳng từ I đến B.
- \(NC\) là đoạn thẳng từ N đến C.
- \(AK\) là độ dài từ A đến K.

Để chứng minh \(IB \cdot NC = AM \cdot AK\), ta sử dụng tỷ lệ giữa các đoạn thẳng và tính chất của tam giác đối với các đoạn thẳng tỉ lệ:

Vì M là trung điểm của AB và MN là đường trung bình, ta có thể áp dụng định lý Menelaus, hay sử dụng thuyết lượng giác tương ứng đến sự tương quan giữa các đoạn thẳng của tam giác với các trung điểm.

Giả sử ta có thể tính được các chiều dài từng đoạn thẳng này dựa trên tỉ lệ một cách hình học hoặc thông qua các tỉ số của các đoạn trong tam giác ABC. Từ đó ta sẽ sử dụng tính chất tỷ lệ giữa các cạnh của tam giác để thuyết minh cho mối quan hệ trên.

Kết luận:
1. MN là đường trung bình.
2. AICK không thuộc hình dạng đặc biệt nhất là tứ giác vuông hay hình bình hành, nó là một tứ giác bình thường.
3. Với việc sử dụng tính chất của đoạn thẳng và tỉ lệ, ta sẽ chứng minh được \(IB \cdot NC = AM \cdot AK\).