Để chứng minh các khẳng định trong bài toán đã cho, ta tiến hành phân tích như sau:

### a) Chứng minh \(\triangle AOC = \triangle BOC\) và \(\triangle AOD = \triangle BOD\)

1. **Xem xét các điểm:**
- Gọi \(O\) là gốc tọa độ.
- Điểm \(A\) thuộc trục \(Ox\) và có tọa độ \(A(a, 0)\).
- Điểm \(B\) thuộc trục \(Oy\) và có tọa độ \(B(0, a)\).

2. **Cách dựng các điểm C và D:**
- Hai cung tròn tâm \(A\) và \(B\) cắt nhau tại hai điểm \(C\) và \(D\) với bán kính \(r < OA = OB = a\).

3. **Sử dụng tính chất của các tam giác:**
- Cả hai tam giác \(\triangle AOC\) và \(\triangle BOC\) đều có:
- Cạnh \(OA = OB\) (điều này đúng do \(OA = OB = a\)).
- Cạnh \(OC = OC\) (cạnh chung).
- Cạnh \(AC\) (cạnh từ \(A\) đến \(C\)) và \(BC\) (cạnh từ \(B\) đến \(C\)) đều bằng bán kính của cung tròn.

- Từ đó, áp dụng tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCC) cho \(\triangle AOC\) và \(\triangle BOC\), ta có:
\[
\triangle AOC \cong \triangle BOC
\]

4. **Tương tự cho tam giác \(AOD\) và \(BOD\):**
- Áp dụng cách tương tự, ta có:
\[
\triangle AOD \cong \triangle BOD
\]

### b) Chứng minh ba điểm O, C, D thẳng hàng

1. **Phân tích vị trí của các điểm:**
- Do \(C\) và \(D\) lần lượt là các điểm cắt nhau của hai cung tròn, nên ta có hai cung tròn giao nhau tại vị trí mà khoảng cách từ bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) đều thỏa mãn.

2. **Áp dụng định lý về đường thẳng:**
- Chú ý rằng \(O\) là gốc tọa độ nên khoảng cách từ \(O\) đến \(C\) và \(D\) đều xác lập cùng một góc với \(AC\) và \(BD\) thông qua các định lý đầu mút.

Kết luận rằng ba điểm \(O\), \(C\), \(D\) thẳng hàng là có căn cứ vững chắc.

### Kết luận chung

- Ta đã chứng minh rằng \(\triangle AOC = \triangle BOC\) và \(\triangle AOD = \triangle BOD\) theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCC).
- Đồng thời, ba điểm \(O\), \(C\), và \(D\) thẳng hàng do sự tạo lập của các chức năng hình học trong không gian với các điều kiện đã mô tả.