Để rút gọn các biểu thức sau, ta sẽ áp dụng các định lý và công thức liên quan đến lũy thừa và căn bậc ba.

### c)

\[
\left( \sqrt[3]{5}+1 \right)^3 - 3\sqrt[3]{5} \left( \sqrt[3]{5}+1 \right)
\]

Áp dụng công thức khai triển lập phương \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \):

1. Gọi \( a = \sqrt[3]{5} \) và \( b = 1 \):
\[
\left( \sqrt[3]{5}+1 \right)^3 = \left( \sqrt[3]{5} \right)^3 + 3 \left( \sqrt[3]{5} \right)^2 (1) + 3(\sqrt[3]{5})(1^2) + 1^3
\]
\[
= 5 + 3\sqrt[3]{25} + 3\sqrt[3]{5} + 1
\]
\[
= 6 + 3 \sqrt[3]{25} + 3 \sqrt[3]{5}
\]

2. Tính \( 3\sqrt[3]{5}\left( \sqrt[3]{5}+1 \right) \):
\[
= 3\sqrt[3]{5}(\sqrt[3]{5}+1) = 3\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} + 3\sqrt[3]{5} \cdot 1 = 3 \cdot 5^{2/3} + 3 \sqrt[3]{5}
\]

3. Thay vào biểu thức ban đầu:
\[
\left( \sqrt[3]{5}+1 \right)^3 - 3 \sqrt[3]{5} \left( \sqrt[3]{5}+1 \right)
\]
\[
= (6 + 3 \sqrt[3]{25} + 3 \sqrt[3]{5}) - (3 \cdot 5^{2/3} + 3 \sqrt[3]{5})
\]
\[
= 6 + 3\sqrt[3]{25} + 3\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{25} - 3\sqrt[3]{5}
\]
\[
= 6
\]

Kết quả rút gọn cho phần c là \( 6 \).

### d)

\[
\left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2} \right)^3 + 6\sqrt[3]{2}\left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2} \right)
\]

Giống như phần c, ta áp dụng công thức khai triển lập phương.

1. Gọi \( a = \sqrt[3]{4} \) và \( b = \sqrt[3]{2} \):
\[
\left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2} \right)^3 = \left( \sqrt[3]{4} \right)^3 - 3\left( \sqrt[3]{4} \right)^2\left( \sqrt[3]{2} \right) + 3\sqrt[3]{4}\left( \sqrt[3]{2} \right)^2 - \left( \sqrt[3]{2} \right)^3
\]
\[
= 4 - 3\sqrt[3]{16}\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4}\cdot 2 - 2
\]
\[
= 2 - 3\sqrt[3]{32} + 6\sqrt[3]{4}
\]

2. Tính \( 6\sqrt[3]{2}\left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2} \right) \):
\[
= 6\sqrt[3]{2}\left( \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} \right) = 6(\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{2})
\]
\[
= 6(2 - \sqrt[3]{2}) = 12 - 6\sqrt[3]{2}
\]

3. Kết hợp các thành phần lại:
\[
= (2 - 3\sqrt[3]{32} + 6\sqrt[3]{4}) + (12 - 6\sqrt[3]{2})
\]
\[
= 14 - 3\sqrt[3]{32} + 6\sqrt[3]{4} - 6\sqrt[3]{2}
\]

Kết quả của phần d không có giá trị số cụ thể hơn mà chỉ chứa các căn bậc ba.

Tóm lại:
- c) Kết quả rút gọn là \( 6 \).
- d) Kết quả rút gọn là \( 14 - 3\sqrt[3]{32} + 6\sqrt[3]{4} - 6\sqrt[3]{2} \).