Rút gọn các biểu thức sau

Để rút gọn các biểu thức sau, ta sẽ áp dụng các định lý và công thức liên quan đến lũy thừa và căn bậc ba.

### c)

\[
\left( \sqrt[3]{5}+1 \right)^3 - 3\sqrt[3]{5} \left( \sqrt[3]{5}+1 \right)
\]

Áp dụng công thức khai triển lập phương \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \):

1. Gọi \( a = \sqrt[3]{5} \) và \( b = 1 \):
\[
\left( \sqrt[3]{5}+1 \right)^3 = \left( \sqrt[3]{5} \right)^3 + 3 \left( \sqrt[3]{5} \right)^2 (1) + 3(\sqrt[3]{5})(1^2) + 1^3
\]
\[
= 5 + 3\sqrt[3]{25} + 3\sqrt[3]{5} + 1
\]
\[
= 6 + 3 \sqrt[3]{25} + 3 \sqrt[3]{5}
\]

2. Tính \( 3\sqrt[3]{5}\left( \sqrt[3]{5}+1 \right) \):
\[
= 3\sqrt[3]{5}(\sqrt[3]{5}+1) = 3\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} + 3\sqrt[3]{5} \cdot 1 = 3 \cdot 5^{2/3} + 3 \sqrt[3]{5}
\]

3. Thay vào biểu thức ban đầu:
\[
\left( \sqrt[3]{5}+1 \right)^3 - 3 \sqrt[3]{5} \left( \sqrt[3]{5}+1 \right)
\]
\[
= (6 + 3 \sqrt[3]{25} + 3 \sqrt[3]{5}) - (3 \cdot 5^{2/3} + 3 \sqrt[3]{5})
\]
\[
= 6 + 3\sqrt[3]{25} + 3\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{25} - 3\sqrt[3]{5}
\]
\[
= 6
\]

Kết quả rút gọn cho phần c là \( 6 \).

### d)

\[
\left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2} \right)^3 + 6\sqrt[3]{2}\left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2} \right)
\]

Giống như phần c, ta áp dụng công thức khai triển lập phương.

1. Gọi \( a = \sqrt[3]{4} \) và \( b = \sqrt[3]{2} \):
\[
\left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2} \right)^3 = \left( \sqrt[3]{4} \right)^3 - 3\left( \sqrt[3]{4} \right)^2\left( \sqrt[3]{2} \right) + 3\sqrt[3]{4}\left( \sqrt[3]{2} \right)^2 - \left( \sqrt[3]{2} \right)^3
\]
\[
= 4 - 3\sqrt[3]{16}\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4}\cdot 2 - 2
\]
\[
= 2 - 3\sqrt[3]{32} + 6\sqrt[3]{4}
\]

2. Tính \( 6\sqrt[3]{2}\left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2} \right) \):
\[
= 6\sqrt[3]{2}\left( \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} \right) = 6(\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{2})
\]
\[
= 6(2 - \sqrt[3]{2}) = 12 - 6\sqrt[3]{2}
\]

3. Kết hợp các thành phần lại:
\[
= (2 - 3\sqrt[3]{32} + 6\sqrt[3]{4}) + (12 - 6\sqrt[3]{2})
\]
\[
= 14 - 3\sqrt[3]{32} + 6\sqrt[3]{4} - 6\sqrt[3]{2}
\]

Kết quả của phần d không có giá trị số cụ thể hơn mà chỉ chứa các căn bậc ba.

Tóm lại:
- c) Kết quả rút gọn là \( 6 \).
- d) Kết quả rút gọn là \( 14 - 3\sqrt[3]{32} + 6\sqrt[3]{4} - 6\sqrt[3]{2} \).