Cho đường tròn (O;R), đường kính AD, có dây AB không là đường kính. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở điểm C. Trên đường tròn lấy điểm E thuộc cung lớn AB sao cho ∠BED = 30°

Để giải bài toán cho đường tròn (O;R) với các điều kiện đã cho, chúng ta lần lượt thực hiện từng phần như sau:

### a) Tính độ dài \( BO \) và \( AD \)

1. **Xác định:**
- \( AB \) không là đường kính, tức là điểm B không nằm trên đường tròn.
- Gọi độ dài \( AB = a \).

2. **Sử dụng định lý Pitago trong tam giác \( AOB \):**
- \( AO \) là bán kính \( R \).
- \( BO \) là khoảng cách từ tâm đến dây cung.
- Theo định lý Pitago:
\[
OA^2 = OB^2 + AB^2 \implies R^2 = BO^2 + a^2 \implies BO = \sqrt{R^2 - a^2}
\]

3. **Độ dài \( AD \):**
- Đường kính \( AD \) có độ dài bằng \( 2R \).

### b) Chứng minh \( CB \) là tiếp tuyến của (O)

1. **Xác định góc:**
- Theo định nghĩa tiếp tuyến, nếu \( CB \) là tiếp tuyến tại \( B \), thì:
\[
CB \perp OB
\]

2. **Góc \( \angle CBA \):**
- Do \( \angle BED = 30^\circ \) và \( E \) thuộc cung lớn \( AB \), điều này có nghĩa là \( \angle ABE \) cũng sẽ bằng \( 30^\circ \).

3. **Áp dụng định lý sinh ra từ trọng tâm:**
- Ta có \( \angle ABC + \angle ABE = 90^\circ \).
- Nếu \( BC \) vuông góc với \( OB \), thì suy ra \( CB \) là tiếp tuyến.

### c) Cho bán kính của (O) bằng 15 cm và độ dài \( AB = 24 \) cm

1. **Tính toán độ dài \( BO \):**
\[
BO = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài đoạn thẳng \( OC \):**
- Khi đã có \( OA = 15 \), và từ \( O \) đến đường thẳng \( AB \) là \( 9 \) cm, thì \( OC \) sẽ bằng:
\[
OC = \sqrt{OA^2 + BO^2} = \sqrt{15^2 + 9^2} = \sqrt{225 + 81} = \sqrt{306}
\]

3. **So sánh độ dài:**
- Tính cho \( AD \):
\[
AD = 2R = 30 \text{ cm}
\]
- Và so sánh với \( AB + BD < 2AD\):
\[
24 + BO < 30 \text{ cm}
\]

### Kết luận

- Đáp án cho bài toán là:
- \( BO = 9 \text{ cm} \)
- \( AD = 30 \text{ cm} \)
- \( CB \) là tiếp tuyến của (O).
- Độ dài đoạn thẳng \( OC \) có thể được tính và chứng minh theo yêu cầu.