Cho tam giác ABC đều có độ dài bằng a, gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác, độ dài vecto GB+GC bằng?

Trong tam giác đều ABC với độ dài các cạnh bằng \( a \), ta sẽ tính độ dài của vector \( \vec{GB} + \vec{GC} \).

Trọng tâm G của tam giác ABC là điểm cắt nhau của ba trung tuyến, và nó nằm ở vị trí cách đều các đỉnh của tam giác, theo tỷ lệ \( 2:1 \) từ mỗi đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử điểm A có tọa độ \( A(0, \frac{a\sqrt{3}}{3}) \),
- Điểm B có tọa độ \( B\left(-\frac{a}{2}, 0\right) \),
- Điểm C có tọa độ \( C\left(\frac{a}{2}, 0\right) \).

2. **Tính tọa độ của trung điểm M:**
- Tọa độ M là trung điểm của đoạn BC:
\[
M = \left( \frac{-\frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (0, 0)
\]

3. **Tính tọa độ trọng tâm G:**
- Tọa độ của trọng tâm G được tính bằng trung bình tọa độ của các đỉnh:
\[
G = \left( \frac{0 + (-\frac{a}{2}) + \frac{a}{2}}{3}, \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3} + 0 + 0}{3} \right) = \left( 0, \frac{a\sqrt{3}}{9} \right)
\]

4. **Tính độ dài \( \vec{GB} + \vec{GC} \):**
- Tính vector \( \vec{GB} \):
\[
\vec{GB} = B - G = \left(-\frac{a}{2}, 0\right) - \left(0, \frac{a\sqrt{3}}{9}\right) = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{9}\right)
\]

- Tính vector \( \vec{GC} \):
\[
\vec{GC} = C - G = \left(\frac{a}{2}, 0\right) - \left(0, \frac{a\sqrt{3}}{9}\right) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{9}\right)
\]

- Tính tổng \( \vec{GB} + \vec{GC} \):
\[
\vec{GB} + \vec{GC} = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{9}\right) + \left(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{9}\right) = (0, -\frac{2a\sqrt{3}}{9})
\]

5. **Tìm độ dài của vecto \( \vec{GB} + \vec{GC} \):**
\[
|\vec{GB} + \vec{GC}| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{2a\sqrt{3}}{9}\right)^2} = \frac{2a\sqrt{3}}{9}
\]

Vậy, độ dài của vector \( \vec{GB} + \vec{GC} \) bằng \( \frac{2a\sqrt{3}}{9} \).