Để tìm số tự nhiên \( n \) giúp biểu thức \( A = n^3 - 4n^2 + 4n - 1 \) trở thành một số nguyên tố, ta có thể thử nghiệm giá trị của \( n \) từ 1 trở đi và tính giá trị của \( A \).

1. **Khi \( n = 1 \)**:
\[
A = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 1 = 1 - 4 + 4 - 1 = 0 \quad \text{(Không phải là số nguyên tố)}
\]

2. **Khi \( n = 2 \)**:
\[
A = 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 1 = 8 - 16 + 8 - 1 = -1 \quad \text{(Không phải là số nguyên tố)}
\]

3. **Khi \( n = 3 \)**:
\[
A = 3^3 - 4 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 - 1 = 27 - 36 + 12 - 1 = 2 \quad \text{(Là số nguyên tố)}
\]

4. **Khi \( n = 4 \)**:
\[
A = 4^3 - 4 \cdot 4^2 + 4 \cdot 4 - 1 = 64 - 64 + 16 - 1 = 15 \quad \text{(Không phải là số nguyên tố)}
\]

5. **Khi \( n = 5 \)**:
\[
A = 5^3 - 4 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 - 1 = 125 - 100 + 20 - 1 = 44 \quad \text{(Không phải là số nguyên tố)}
\]

6. **Khi \( n = 6 \)**:
\[
A = 6^3 - 4 \cdot 6^2 + 4 \cdot 6 - 1 = 216 - 144 + 24 - 1 = 95 \quad \text{(Không phải là số nguyên tố)}
\]

7. **Khi \( n = 7 \)**:
\[
A = 7^3 - 4 \cdot 7^2 + 4 \cdot 7 - 1 = 343 - 196 + 28 - 1 = 174 \quad \text{(Không phải là số nguyên tố)}
\]

Tiếp tục thử nghiệm cho các giá trị \( n \) lớn hơn như 8, 9, ... sẽ cho giá trị không phải là số nguyên tố.

**Kết luận**: Giá trị \( n = 3 \) là số tự nhiên duy nhất mà \( A \) trở thành số nguyên tố (là 2).