Để tính diện tích của tam giác ABC vuông tại A, ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC
\]

Gọi:
- \( AC = x \) (cạnh đối diện tại B)
- \( AB = \frac{4}{3}x \) (cạnh đối diện tại C)
- \( BC = \frac{5}{3}x \) (cạnh huyền)

Theo điều kiện của bài toán, ta có chu vi tam giác:

\[
AB + AC + BC = 90
\]

Thay các cạnh vào phương trình:

\[
\frac{4}{3}x + x + \frac{5}{3}x = 90
\]

Tính tổng hợp các số hạng:

\[
\left( \frac{4}{3}x + x + \frac{5}{3}x \right) = \left( \frac{4}{3}x + \frac{3}{3}x + \frac{5}{3}x \right) = \frac{12}{3}x = 4x
\]

Do đó, ta có:

\[
4x = 90 \Rightarrow x = \frac{90}{4} = 22.5
\]

Bây giờ, ta tính độ dài của các cạnh:

- \( AC = x = 22.5 \) cm
- \( AB = \frac{4}{3} \cdot 22.5 = 30 \) cm
- \( BC = \frac{5}{3} \cdot 22.5 = 37.5 \) cm

Bây giờ, ta tính diện tích:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 22.5 = \frac{1}{2} \cdot 675 = 337.5 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích hình tam giác ABC là:

\[
\boxed{337.5 \text{ cm}^2}
\]