Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times a \times h
\]

Trong đó:
- \( a = BC = 27 \) cm (cạnh BC),
- \( h \) là chiều cao từ điểm A xuống cạnh BC.

Khi kéo dài cạnh BC thêm 5 cm, cạnh BC sẽ có độ dài mới là:

\[
BC' = BC + 5 = 27 + 5 = 32 \text{ cm}
\]

Diện tích mới của tam giác ABC sẽ là:

\[
S' = \frac{1}{2} \times BC' \times h = \frac{1}{2} \times 32 \times h
\]

Theo đề bài, diện tích mới \( S' \) lớn hơn diện tích cũ \( S \) thêm 45 cm², hay:

\[
S' = S + 45
\]

Thay các công thức vào:

\[
\frac{1}{2} \times 32 \times h = \frac{1}{2} \times 27 \times h + 45
\]

Rút gọn phương trình:

\[
16h = \frac{27}{2}h + 45
\]

Nhân tất cả với 2 để loại bỏ phân số:

\[
32h = 27h + 90
\]

Giải phương trình:

\[
32h - 27h = 90 \\
5h = 90 \\
h = 18
\]

Bây giờ, ta có thể tính diện tích của tam giác ABC:

\[
S = \frac{1}{2} \times 27 \times 18 = \frac{27 \times 18}{2} = 243 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích của tam giác ABC là \( \boxed{243} \) cm².