Để tính diện tích của tam giác ABC, chúng ta có thể sử dụng các thông tin đã cho về tam giác AHB và tỷ lệ giữa HB và HC.

1. Gọi HC = x, thì HB = \(\frac{1}{3}x\). Do đó, BC = HB + HC = \(\frac{1}{3}x + x = \frac{4}{3}x\).

2. Diện tích của tam giác AHB được tính như sau:
\[
S_{AHB} = \frac{1}{2} \times AB \times AH
\]
Với \(S_{AHB} = 6\) cm², AH = 4 cm:
\[
6 = \frac{1}{2} \times AB \times 4 \Rightarrow AB = \frac{6 \times 2}{4} = 3 \text{ cm}
\]

3. Diện tích của tam giác ABC là:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
Thay thế BC vào công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}x \times 4 = \frac{8}{3}x
\]

4. Để tính x, ta cũng có thể tính diện tích của tam giác ABC từ hai tam giác AHB và AHC. Do hai diện tích này cùng chung độ cao AH:
- Diện tích AHC được tính bằng:
\[
S_{AHC} = \frac{1}{2} \times AC \times AH
\]
Với \(AC = HC + AB\):
- Diện tích ABC ngang bằng tổng hai diện tích: \(S_{ABC} = S_{AHB} + S_{AHC}\).

5. Diện tích tam giác AHC là:
\[
S_{AHC} = S_{ABC} - S_{AHB} = S_{ABC} - 6 \, cm²
\]

6. Lập phương trình theo AB và x:
- \(BC = \frac{4}{3}(x)\) và ta cần tính diện tích ABC:
\[
6 + (S_{ABC} - 6) = S_{ABC}
\]

7. Giả sử \(S_{AHC} = 2 \times S_{AHB}\) vì HC là 3 lần HB. Tính diện tích AHC:
\[
S_{AHC} = 3 \times S_{AHB} = 3 \times 6 = 18 \, cm²
\]

8. Tổng diện tích ABC là:
\[
S_{ABC} = S_{AHB} + S_{AHC} = 6 + 18 = 24 \, cm²
\]

Vậy diện tích tam giác ABC là **24 cm²**.