Để tính độ dài của đoạn thẳng \( MN \) trong hình, ta có thể sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song trong tam giác.

Theo giả thiết, \( MN \parallel BC \) và tỷ lệ chia đoạn \( \frac{AM}{MB} = \frac{3}{2} \).

Từ tỷ lệ \( AM:MB = 3:2 \), ta nhận thấy rằng tổng độ dài của đoạn \( AB \) sẽ là \( AM + MB = 3k + 2k = 5k \) với \( k \) là một số dương nào đó. Do đó, ta có:

\[
AB = 5k
\]

Mặt khác, theo định lý truyền thuyết, chiều dài của đoạn thẳng \( MN \) và \( BC \) có tỷ lệ tương ứng với tỷ lệ chia đoạn \( AB \):

\[
\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB}
\]

Thay giá trị của \( AM \) và \( AB \):

\[
\frac{MN}{6 \text{ cm}} = \frac{AM}{AM + MB} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}
\]

Giải phương trình này để tìm \( MN \):

\[
MN = 6 \text{ cm} \times \frac{3}{5} = \frac{18}{5} \text{ cm} = 3.6 \text{ cm}
\]

Vậy độ dài của đoạn thẳng \( MN \) là \( 3.6 \text{ cm} \).