Chứng minh bốn điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn

Để chứng minh bốn điểm \( A, B, C, O \) cùng thuộc một đường tròn, ta làm như sau:

### a) Chứng minh bốn điểm \( A, B, C, O \) cùng thuộc một đường tròn.

1. **Tính chất tiếp tuyến**: Từ điểm \( A \) nằm ngoài đường tròn \( (O) \), kẻ các tiếp tuyến \( AB \) và \( AC \) với đường tròn tại các điểm tiếp điểm \( B \) và \( C \).

2. **Góc giữa tiếp tuyến và bán kính**: Ta biết rằng, theo định nghĩa của tiếp tuyến, \( AB \perp OB \) và \( AC \perp OC \). Do đó, ta có:
\[
\angle OBA = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle OCA = 90^\circ
\]

3. **Góc nội tiếp**: Xét tứ giác \( OABC \), ta có:
\[
\angle OBA + \angle OCA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
Điều này chứng tỏ rằng bốn điểm \( A, B, C, O \) cùng thuộc một đường tròn (theo định lý về tứ giác nội tiếp).

### b) Tính độ dài đoạn \( OH \) và \( BC \) theo \( R \).

1. **Gọi \( H \) là giao điểm của \( OA \) và \( BC \)**. Ta có tam giác \( OAB \) và \( OAC \) là hai tam giác vuông tại \( B \) và \( C \).

2. **Sử dụng định lý Pytago**: Đoạn \( OA = 2R \) và \( OB = OC = R \).
- Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \( OAB \):
\[
AB^2 = OA^2 - OB^2 = (2R)^2 - R^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2 \implies AB = \sqrt{3}R
\]
- Tương tự cho \( AC \):
\[
AC = AB = \sqrt{3}R
\]

3. **Tính độ dài \( BC \)**: Do \( AB \) và \( AC \) cùng là cạnh tiếp tuyến, và chúng tạo thành cạnh đáy của tam giác \( ABC \):
\[
BC = AB + AC = \sqrt{3}R + \sqrt{3}R = 2\sqrt{3}R
\]

4. **Tính \( OH \)**: Theo tính chất của đường tròn, ta có:
\[
OH = OA - AH = 2R - R = R
\]
Do đó, \( OH = R \).

### c) Chứng minh rằng \( CD \parallel AO \) và \( I \) là trung điểm của \( CK \).

1. **Kẻ đường kính \( BD \)** của đường tròn, \( D \) là điểm đối xứng với \( B \) qua tâm \( O \).

2. **Kẻ \( CK \) vuông góc với \( BD \)**, suy ra \( CK \) sẽ tạo thành hai góc vuông với \( BD \).

3. **Chứng minh \( CD \parallel AO \)**:
- Do \( CK \perp BD \), và \( AB \) là tiếp tuyến, ta có \( \angle OBA = \angle CBD \).
- Theo đó, tam giác \( CBD \) và \( OAB \) có các góc tương ứng bằng nhau, suy ra \( CD \parallel AO \).

4. **Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( CK \)**:
- \( I \) là giao điểm của \( AD \) và \( CK \). Do \( AD \) đi qua \( O \) và \( CK \) đi qua \( C \), điểm \( I \) sẽ chia đoạn \( CK \) ra làm hai đoạn bằng nhau.

Từ các chứng minh trên, ta có:
- \( A, B, C, O \) cùng nằm trên một đường tròn.
- Độ dài \( OH = R \) và \( BC = 2\sqrt{3}R \).
- \( CD \parallel AO \) và \( I \) là trung điểm của \( CK \).