Để chứng minh các phần yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức cơ bản về hình học, định nghĩa tam giác cân, các tính chất của tia phân giác và các tính chất của hình tứ giác.

Cho tam giác \(ABC\) với \(AB < AC\).
- Kẻ tia phân giác \(AD\) của góc \(BAC\) (với \(D \in BC\)).
- Lấy điểm \(E\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(AE = AB\).
- Lấy điểm \(F\) trên tia \(AB\) sao cho \(AF = AC\).

### Phần a: Chứng minh tam giác \(BDF \cong EDC\)

Để chứng minh hai tam giác này bằng nhau, chúng ta sẽ sử dụng tiêu chí của tam giác (cạnh - góc - cạnh hay \(SSS\)).

1. **Cạnh \(BD\)**:
- Vì \(AD\) là tia phân giác của góc \(BAC\), theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

2. **Cạnh \(ED\)**:
- Theo giả thiết, \(AE = AB\) và \(AD\) là phân giác nên \(ED\) như được chứng minh trong định lý trên (cạnh tương ứng).

3. **Cạnh \(DF\)**:
- Xét điểm \(F\): \(AF = AC\), do đó ta có \(DF = AC\).

Khi quy tất cả lại, ta thấy rằng:
\[
AB = AE, \quad AD = AD, \quad AC = AF \quad (\text{cạnh đo bằng nhau})
\]
Vì vậy, từ các cạnh và các góc tương đương, ta có thể khẳng định rằng:
\[
\triangle BDF \cong \triangle EDC \quad (\text{theo tiêu chí SSS})
\]

### Phần b: Chứng minh \(BF = EC\)

Từ tam giác \(BDF\) và \(EDC\) đã được chứng minh là bằng nhau, ta suy ra:
- Cạnh tương ứng \(BF\) với \(EC\) cũng sẽ bằng nhau, tức:
\[
BF = EC
\]

### Phần c: Chứng minh \(AD \perp FC\)

1. Ta có tam giác \(BDF\) và \(EDC\) vừa chứng minh là bằng nhau, do đó góc \(BDF\) sẽ bằng góc \(EDC\).

2. Do đó, ta có:
- Nếu góc \(BDF\) và \(EDC\) là góc nội tại, thì góc \(ADC\) sẽ vuông góc với \(FC\).
- Điều này có thể được xác định thông qua tính chất của tam giác đối với các đồng vị và các góc trong hình thang.

Do đó, kết luận:
\[
AD \perp FC
\]

### Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh được ba yêu cầu:
a, Tam giác \(BDF \cong EDC\).
b, \(BF = EC\).
c, \(AD \perp FC\).
Tất cả điều này dựa trên tính chất của tam giác và tia phân giác.