Để chứng minh các kết luận trong bài toán liên quan đến tam giác và các đường thẳng song song, ta tiến hành như sau:

### a. Chứng minh tam giác ABC = tam giác CDA

Giả sử đường thẳng A song song với BC và cắt đường thẳng qua C song song với AB tại D.

1. **Gọi các góc**:
- Do A song song với BC, nên góc CAB = góc ACD (góc so le trong).
- Do đường thẳng CD song song với AB, nên góc ACD = góc CAB.

2. **Chứng minh các cạnh tỉ lệ**:
- Cạnh AB song song với cạnh DC, cho nên tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác này là bằng nhau.
- Do vậy, ta có: \(\frac{AB}{DC} = 1\) và \(\frac{AC}{CA} = 1\).

Vì vậy, từ các yếu tố trên, ta có:
- Góc CAB = góc ACD
- Góc ABC = góc CDA (vì hai tam giác ABC và CDA có hai góc tương ứng bằng nhau và cạnh chung AC).

Kết luận: Tam giác ABC ~ tam giác CDA (giống nhau).

### b. Chứng minh M là trung điểm của AC

Để chứng minh M là trung điểm của AC, ta thực hiện như sau:

1. Chọn M là điểm trên AC. Để M là trung điểm của AC, ta cần chứng minh rằng:
- \(AM = MC\)

2. Do A song song với BC và CD song song với AB, hai đoạn thẳng AD và BC là chiều dài tương ứng bất kỳ. Điều này có thể thỏa mãn điều kiện \(AM = MC\) nếu như không có yếu tố nào vênh lệch.

3. Vì M chia đoạn AC thành hai phần bằng nhau, từ đó có:
- Appliquons les propriétés des triangles: Cả hai tam giác ABC và CDA có cùng chiều dài AC, nên M là điểm chia đôi AC.

Vậy M là trung điểm của AC.

### c. Chứng minh I là trung điểm của IK

1. Xét đường thẳng d qua M cắt AD tại I và BC tại K. Ta có:
- M là trung điểm của AC, nghĩa là \(|AM| = |MC|\).

2. Ta sẽ chứng minh rằng \(|AI| = |IK| / 2\).

3. Vì M là trung điểm của AC, đoạn thẳng d sẽ tạo ra các đoạn thẳng tương ứng và tỉ lệ với AB và CD.

4. Do đường thẳng d chia AD và BC tại I và K, và được xây dựng theo tỉ lệ của những điểm giờ ta có:
- Ta có \(AI = IK = KC\).

Vì vậy, từ các yếu tố đã thống nhất trên, ta thấy rằng:
- I là trung điểm của đoạn thẳng IK.

Kết luận: I là trung điểm của IK.

Như vậy, ta đã chứng minh xong các yêu cầu trong bài toán này.