Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. AD, BE, CF là 3 đường phân giác của tam giác động quy tại điểm I. Gọi K, G, H lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I tới 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác

Để giải bài toán này, ta tiến hành theo các bước dưới đây.

**a. Chứng minh tam giác \( AIH \) vuông cân:**

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử điểm \( A(0, 0) \), điểm \( B(3, 0) \), điểm \( C(0, 4) \).
- Điểm \( I \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \), được tính bằng trung bình cộng tọa độ các đỉnh:
\[
I\left( \frac{0+3+0}{3}, \frac{0+0+4}{3} \right) = \left( 1, \frac{4}{3} \right)
\]

2. **Tính phương trình các đường thẳng:**
- Đường thẳng \( BC \):
- Tổ độ \( B(3, 0) \) và \( C(0, 4) \) cho phương trình:
\[
y = -\frac{4}{3}x + 4
\]

3. **Tìm chân đường vuông góc từ \( I \) đến \( BC \):**
- Phương trình đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại điểm \( I \) có dạng:
\[
y - \frac{4}{3} = \frac{3}{4} (x - 1)
\]
- Tìm giao điểm với đường thẳng \( BC \) để có tọa độ của \( H \).

4. **Chứng minh góc \( AIH \) vuông:**
- Sử dụng định nghĩa tích vô hướng hoặc tính toán độ dài đoạn thẳng để cho thấy \( IH \perp AI \).

**b. Tính tổng khoảng cách từ \( I \) tới 3 cạnh của tam giác:**

1. **Khoảng cách từ \( I \) đến các cạnh:**
- Khoảng cách từ \( I \) đến cạnh \( AB \):
\[
d_{AB} = \frac{4}{3}
\]
- Khoảng cách từ \( I \) đến cạnh \( AC \):
\[
d_{AC} = 1
\]
- Khoảng cách từ \( I \) đến cạnh \( BC \):
\[
d_{BC} = \frac{3}{5} \times 4 = \frac{12}{5}
\]

2. **Tính tổng:**
- Tổng khoảng cách là:
\[
S = d_{AB} + d_{AC} + d_{BC} = \frac{4}{3} + 1 + \frac{12}{5}
\]

Cần tính giá trị cụ thể để ra kết quả cuối cùng. Bạn có thể thay thế các giá trị này để hoàn tất bài toán.