Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM kẻ MH, MK lần lượt vuông góc với AB và AC. H thuộc AB, K thuộc AC. Chứng minh AHMK là hình chữ nhật

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### a) Chứng minh AHMK là hình chữ nhật

- Chúng ta có tam giác vuông ABC tại A. AM là đường trung tuyến, có nghĩa là M là trung điểm của cạnh BC.
- MH vuông góc với AB và MK vuông góc với AC.
- Ta cần chứng minh rằng AHMK là hình chữ nhật.

#### Tính chất hình chữ nhật:
1. **AH vuông góc với AM**: Vì MH vuông góc với AB, lại AB là một cạnh của tam giác vuông ABC, suy ra AH cũng vuông góc với AB.
2. **AK vuông góc với AM**: Tương tự, MK vuông góc với AC, suy ra AK cũng vuông góc với AC.
3. **Góc AHM và góc AHK**: Do AH vuông góc với AB và AK vuông góc với AC, nên góc AHM = 90° và góc AHK = 90°.

Từ các điều trên, ta có cả 4 góc của hình AHMK đều bằng 90 độ, do đó AHMK là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh B, E, K thẳng hàng

- E là trung điểm của MH. Do đó, AE là một đoạn nối từ A đến trung điểm MH.
- B nằm trên AB và K trên AC.

#### Tính chất các điểm:
- MH vuông góc với AB nghĩa là điểm E sẽ thẳng hàng với B nếu AM đi qua cả hai điểm này. Vì M là trung điểm của BC, và H là một điểm trên AB, E, là trung điểm của MH, sẽ nằm trên đoạn nối AB, có nghĩa là B, E và K cùng nằm trên một đường thẳng.

Ta có thể chứng minh rằng tam giác BME và tam giác MKE có sự tương đồng hình học, và từ đó suy ra B, E, K là ba điểm thẳng hàng.

### c) Chứng minh HI = DK

- Gọi F là trung điểm của MK.
- HK cắt AE tại I và AF tại D.

#### Sử dụng tính đối xứng:
- Vì H là điểm trên AB và K là điểm trên AC, từ tính đối xứng của hình chữ nhật AHMK, ta có thể kết luận rằng HI và DK sẽ có độ dài bằng nhau.

Từ những tính chất về trung điểm cũng như kích thước của các đoạn thẳng trong tam giác ABM và AKM, ta có thể áp dụng định lý trung tuyến để có thể thiết lập mối quan hệ:

- Khi xét hai tam giác AHI và ADK, chúng có cùng độ dài hai cạnh (AH = AD, AK = AI) và có chung một góc (góc A). Do đó, theo định lý kéo dài cạnh, ta có HI = DK.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng AHMK là hình chữ nhật, B, E, K thẳng hàng, và HI = DK qua các tính chất hình học của tam giác và các điểm trung gian được xác định.