Để chứng minh rằng \( m\angle OnM = 90^\circ \), ta sẽ sử dụng định nghĩa về tia phân giác và tính chất của các góc kề bù.

1. **Định nghĩa góc kề bù**: Hai góc kề bù là hai góc có tổng bằng \( 180^\circ \).

2. **Cho \( aOb \) và \( bOc \)** là hai góc kề bù, nghĩa là:
\[
m\angle aOb + m\angle bOc = 180^\circ
\]
Giả sử \( m\angle aOb = x \) và \( m\angle bOc = 180^\circ - x \).

3. **Tia phân giác**: Theo định nghĩa, tia phân giác của một góc chia góc đó thành 2 góc có số đo bằng nhau. Do đó, vì \( Om \) là tia phân giác của góc \( aOb \), ta có:
\[
m\angle aOm = \frac{1}{2} m\angle aOb = \frac{1}{2} x
\]

4. Tương tự, vì \( On \) là tia phân giác của góc \( bOc \), ta có:
\[
m\angle bOn = \frac{1}{2} m\angle bOc = \frac{1}{2} (180^\circ - x) = 90^\circ - \frac{1}{2}x
\]

5. **Xét tổng 2 góc**:
\[
m\angle OmOn = m\angle aOm + m\angle bOn = \left(\frac{1}{2}x\right) + \left(90^\circ - \frac{1}{2}x\right)
\]
\[
m\angle OmOn = \frac{1}{2}x + 90^\circ - \frac{1}{2}x = 90^\circ
\]

6. **Kết luận**: Do đó, ta đã chứng minh rằng
\[
m\angle OmOn = 90^\circ
\]
Nghĩa là \( m\angle OnM = 90^\circ \) như yêu cầu.

Vậy ta có kết quả mong muốn.