Để giải bài toán trên, ta sẽ tiến hành từng phần một như sau:

### a) Chứng minh rằng ΔAIM = ΔBIC
- **Cách tiếp cận:**
- Ta có điểm I là trung điểm của AB, nên \( AI = BI \).
- Do \( IM = IC \) theo giả thiết.
- Xét góc \( \angle AIM \) và \( \angle BIC \):
- Do tia IC là tia đối của tia IM, nên \( \angle AIM = \angle BIC \).
- Từ đó, có:
- \( AI = BI \)
- \( IM = IC \)
- \( \angle AIM = \angle BIC \)

=> Theo tiêu chí 2 cạnh và 1 góc kẹp, ta suy ra \( \Delta AIM \cong \Delta BIC \).

### b) Gọi E là trung điểm của AC
- **Cách tiếp cận:**
- Theo định nghĩa, trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho \( EN = EB \).
- Khi đó, ta có \( AE = EC \) và \( EN = EB \).
- Ta sẽ chứng minh rằng \( AN \parallel BC \):
- Xét ΔABE và ΔCBE, với \( AE = EC \) và \( EB \) là chung.
- Do đó, ta có tỷ lệ \( \frac{AB}{CE} = \frac{AN}{BC} \).
- Suy ra \( AN \parallel BC \).

### c) Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN
- **Cách tiếp cận:**
- Từ phần b, ta có \( EN = EB \).
- Vì E là trung điểm của AC nên \( EA = EC \).
- Vậy \( A \) cũng là trung điểm của đoạn MN.
- Để chứng minh \( M, A, N \) thẳng hàng, ta sử dụng tính chất trung điểm và gợi ý từ các tam giác đã chứng minh ở trên.

Tóm lại, các bước trên sẽ dẫn đến các kết luận cần thiết theo từng phần bài toán.