Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và đường phân giác BI. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BI tại D. Gọi E là giao điểm của BA và CD. a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

Để chứng minh bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc và định lý cạnh đối.

1. **Xét tam giác vuông \( ABC \)**: vì \( ABC \) vuông tại \( A \), theo định nghĩa, ta có:
- \( \angle ABC + \angle ACB = 90^\circ \).

2. **Xét đường phân giác \( BI \)**: Khi đó, ta có góc \( \angle ABI = \angle IBC \).

3. **Tính chất đường thẳng vuông góc với \( BI \)**: Đường thẳng \( CD \) được kẻ vuông góc với đường phân giác \( BI \), do đó, \( \angle BIC = 90^\circ \).

4. **Góc \( \angle ADB \)**: Ta xét tứ giác \( ABDC \). Theo kể trên, ta có:
- \( \angle ADB = \angle ABC + \angle ACB = 90^\circ \).

5. **Sử dụng góc nội tiếp**:
- Vì \( \angle ADB = 90^\circ \), suy ra \( A, B, C, D \) cùng nằm trên một đường tròn với đường kính là \( AD \).

Vậy, bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn.