Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

a) **Chứng minh AFHE là hình chữ nhật:**

Để chứng minh AFHE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai điều kiện:
1. Hai cạnh AF và HE vuông góc với nhau.
2. Hai cạnh AH và FE vuông góc với nhau.

- Mặt khác, theo bài toán, chúng ta đã biết rằng HF vuông góc với AB, HE vuông góc với AC. Ta có:
- HF ⊥ AB
- HE ⊥ AC

Vì A là điểm góc vuông của tam giác ABC, ta có AB vuông góc với AC. Do đó, điểm F nằm trên AB và điểm E nằm trên AC.

=> Điều này chứng tỏ rằng AF và HE vuông góc với nhau tại A.

Bởi vì trong tam giác vuông tại A, các đường thẳng vuông góc tạo thành hai cặp cạnh vuông góc với nhau.

=> Suy ra AFHE là một hình chữ nhật.

b) **Gọi P là điểm đối xứng của A qua E, chứng minh FHPE là hình bình hành:**

Để chứng minh FHPE là hình bình hành, ta chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

1. Do P là điểm đối xứng của A qua E:
- AE = EP

2. Vì AFHE là hình chữ nhật, ta có:
- AF = HE
- Và HF = AE (do HE và HF là các cạnh đối diện trong hình chữ nhật AFHE).

3. Bây giờ để chứng minh FHPE là hình bình hành, ta chỉ cần chứng minh rằng:
- FH || PE và HF || AE.
- Theo yếu tố hình chữ nhật, rõ ràng rằng hai cặp cạnh này đều song song với nhau.

=> Vậy FHPE là hình bình hành.

c) **Gọi M là trung điểm HC, I là giao điểm của AH và FE. Chứng minh BI vuông góc với AM:**

- Gọi H là điểm trên BC, từ đó M là trung điểm của HC, và I là giao điểm của đường cao AH với đường thẳng FE.

- Ta biết rằng:
- AH vuông góc với BC (tính chất đường cao).
- FE vuông góc với AB và AC, do đó nó nằm trong mặt phẳng chứa tam giác vuông ABC.

Do đó chúng ta có:
1. Tại điểm I, AH vuông góc với FE.
2. M nằm trên HC và là trung điểm, do đó MI || BA.

Cuối cùng, ta có thể chứng minh rằng các tam giác MiB và AIB có các cạnh tương ứng vuông góc với nhau, từ đó sẽ dẫn đến BI vuông góc với AM.

=> Điều này chứng minh BI vuông góc với AM.

Như vậy, ta đã hoàn thành chứng minh cho các yêu cầu trong bài toán.